Halbregulärer Raum

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ heißt halbregulär, falls die regulär offenen Teilmengen eine Basis des Raums ${\displaystyle X}$ bilden.[1] Dabei heißt eine Teilmenge ${\displaystyle G}$ eines topologischen Raums ${\displaystyle X}$ genau dann regulär offen, wenn ${\displaystyle G}$ das Innere seines Abschlusses ist. Das heißt, ${\displaystyle G}$ ist genau dann regulär offen, wenn ${\displaystyle G=\operatorname {int} (\operatorname {cl} (G))}$ gilt.[2] Regulär offene Mengen werden auch kanonisch offene Mengen genannt.[1]

• Alle regulär offenen Teilmengen eines topologischen Raums bilden zusammen mit der Halbordnung ${\displaystyle \subseteq }$ und den regulären Mengenoperationen ${\displaystyle \cap ^{\ast }}$, ${\displaystyle \cup ^{\ast }}$, ${\displaystyle \mathrm {C} ^{\ast }}$ eine vollständige boolesche Algebra.[2]
• Jeder reguläre Raum ${\displaystyle X}$ ist auch halbregulär. Insbesondere bilden die regulär offenen Teilmengen eine Basis von ${\displaystyle X}$, aber nicht alle topologischen Räume, deren regulär offene Teilmengen eine Basis bilden, sind regulär.
• Jeder topologische Raum ${\displaystyle X}$ kann in einen halbregulären Raum eingebettet werden. Dazu betrachtet man die Menge ${\displaystyle X\times I}$, wobei ${\displaystyle I}$ das abgeschlossene Einheitsintervall ${\displaystyle [0,1]}$ ist, und erklärt darauf eine Topologie. Die offenen Mengen dieser Topologie sind für ${\displaystyle (x,y)\in X\times I}$ mit ${\displaystyle y\neq 0}$ für kleine positive ${\displaystyle \epsilon }$ durch ${\displaystyle \{(x,z):y-\epsilon <z<y+\epsilon \}}$ gegeben. Und für ${\displaystyle (x,0)\in X\times I}$ sind sie durch ${\displaystyle \{(x',z):x'\in U,0\leq z<\epsilon _{U}\}}$ gegeben, wobei ${\displaystyle U}$ eine offene Umgebung von ${\displaystyle x\in X}$ für alle ${\displaystyle x'\in U}$ und ${\displaystyle \epsilon _{U}}$ klein und positiv ist. Dieser Raum ist selbst halbregulär und ${\displaystyle X}$ ist eingebettet als abgeschlossener, nirgends dichter Unterraum.
• Aus der dritten Eigenschaft ist ersichtlich, dass Unterräume halbregulärer Räume im Allgemeinen nicht halbregulär sind.

• Stephen Willard: General Topology. Dover Publications, Mineola NY u. a. 2004, ISBN 0-486-43479-6, Kap. 3D & 14E (englisch).

1. Pavel S. Aleksandrov: Lehrbuch der Mengenlehre. 7. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-1657-8, S. 122.
2. Lothar Ridder: Mereologie. Ein Beitrag zur Ontologie und Erkenntnistheorie (= Philosophische Abhandlungen. Bd. 83). Klostermann, Frankfurt am Main 2002, ISBN 3-465-03168-7, S. 170.