Halbeinfacher Modul

(Im Folgenden wird Vertrautheit des Lesers mit dem Begriff des Moduls vorausgesetzt.)

Sei ${\displaystyle M}$ ein Modul über einem Ring (mit Eins) ${\displaystyle R}$.

Der Modul ${\displaystyle M}$ heißt halbeinfach oder vollständig reduzibel, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

1. ${\displaystyle M}$ lässt sich als direkte Summe von einfachen Moduln schreiben.
2. ${\displaystyle M}$ lässt sich als Summe von einfachen Moduln schreiben.
3. Existenz von Komplementen: Für jeden Untermodul ${\displaystyle N}$ von ${\displaystyle M}$ existiert ein Untermodul ${\displaystyle P}$ von ${\displaystyle M}$, so dass ${\displaystyle M\simeq N\oplus P}$.

• Untermoduln, Quotientenmoduln und direkte Summen von halbeinfachen Moduln sind halbeinfach.
• Ein Modul ${\displaystyle M}$ ist halbeinfach und endlich erzeugt genau dann, wenn er artinsch ist und sein Jacobson-Radikal ${\displaystyle Rad(M)=0}$ ist.

• Die endlich erzeugten halbeinfachen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Moduln sind genau die direkten Summen von Moduln der Form ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ für quadratfreie Zahlen ${\displaystyle n}$.
• Ist ${\displaystyle R}$ ein Körper, so ist ein ${\displaystyle R}$-Modul nichts anderes als ein Vektorraum. Diese sind immer halbeinfach.

Ein Ring heißt halbeinfach, wenn er als Modul über sich selbst halbeinfach ist. Man kann zeigen, dass dies nicht davon abhängt, ob man ${\displaystyle R}$ als Links- oder Rechtsmodul betrachtet.

Bemerkung: Ein Ring heißt einfach, wenn er keine nichttrivialen beidseitigen Ideale besitzt (und nicht etwa, wenn er als Modul über sich selbst einfach ist). Nicht jeder einfache Ring ist halbeinfach. Diese Terminologie ist verwirrend, hat sich aber durchgesetzt.

• Ein unitärer Ring ${\displaystyle R}$ ist halbeinfach genau dann, wenn er artinsch ist und sein Jacobson-Radikal ${\displaystyle Jac(R)=0}$ ist. (Dies ist ein Spezialfall der obigen Eigenschaft für halbeinfache Moduln, denn ${\displaystyle R}$ wird als Modul über sich selbst von der ${\displaystyle 1}$ erzeugt.)
• Insbesondere ist für einen artinschen Ring ${\displaystyle R}$ der Faktorring ${\displaystyle R/Jac(R)}$ halbeinfach.
• Ist ${\displaystyle R}$ halbeinfach, so ist jeder ${\displaystyle R}$-Modul halbeinfach. Dies folgt aus obigen Eigenschaften von halbeinfachen Moduln und aus der Tatsache, dass jeder Modul ein Quotient eines freien Moduls (also einer direkten Summe von Kopien von ${\displaystyle R}$) ist.
• Über halbeinfachen Ringen sind alle Moduln projektiv.

Jeder halbeinfache Ring ist isomorph zu einem (endlichen) direkten Produkt von Matrizenringen über Schiefkörpern. Hierbei ist der ganze Matrizenring gemeint, nicht ein Unterring.

Sei ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon V\rightarrow V}$ heißt halbeinfach, wenn es eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Basis von ${\displaystyle V}$ gibt, in der ${\displaystyle f}$ durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird.

Die Abbildung heißt ${\displaystyle \mathbb {R} }$-halbeinfach oder hyperbolisch, wenn es eine ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Basis von ${\displaystyle V}$ gibt, in der ${\displaystyle f}$ durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird. Die Abbildung heißt ${\displaystyle S^{1}}$-halbeinfach oder elliptisch, wenn sie halbeinfach ist und alle Eigenwerte Betrag 1 haben. Jede lineare Abbildung lässt sich eindeutig als Produkt einer ${\displaystyle S^{1}}$-halbeinfachen, einer unipotenten und einer ${\displaystyle \mathbb {R} }$-halbeinfachen Abbildung zerlegen, siehe Iwasawa-Zerlegung.

Eine Matrix ${\displaystyle A\in Mat(n,\mathbb {C} )}$ heißt halbeinfach, wenn die zugeordnete lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ halbeinfach ist.

Folgende Bedingungen sind äquivalent:

• ${\displaystyle A\in Mat(n,\mathbb {C} )}$ ist halbeinfach,
• ${\displaystyle A\in Mat(n,\mathbb {C} )}$ ist diagonalisierbar,
• das Minimalpolynom von ${\displaystyle A\in Mat(n,\mathbb {C} )}$ hat keine Mehrfach-Faktoren.

Eine Matrix ${\displaystyle A\in Mat(n,\mathbb {C} )}$ ist genau dann halbeinfach, wenn ${\displaystyle \mathbb {C} \left[A\right]}$ eine halbeinfache Algebra ist.