Hadamard-Transformation

Die Hadamard-Transformation, auch bezeichnet als Walsh-Hadamard-Transformation, Hadamard-Rademacher-Walsh-Transformation, Walsh-Transformation und als Walsh-Fourier-Transformation, ist eine diskrete Transformation aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Sie ist eine orthogonal-symmetrische, selbstinverse und lineare Transformation und von der Struktur her verwandt mit der diskreten Fourier-Transformation (DFT). Die Hadamard-Transformation bildet einen Satz von $2^{m}$ reellen oder komplexen Eingangswerten in einen Bildbereich aus überlagerten Walsh-Funktionen, dem Walsh-Spektrum, ab.[1] Die Transformation ist benannt nach den Mathematikern Jacques Hadamard, Joseph L. Walsh und Hans Rademacher.

Die Anwendungen der Hadamard-Transformation liegen im Bereich der digitalen Signalverarbeitung und Datenkompression wie beispielsweise bei JPEG XR und H.264/MPEG-4 AVC.

Definition

Das Produkt einer binären Eingangsfolge und einer

2^{m}\times 2^{m}

-Hadamard-Matrix ergibt das Walsh-Spektrum:
(1,0,1,0,0,1,1,0) * H(8) = (4,2,0,−2,0,2,0,2)

Die Hadamard-Transformation $\operatorname {H} _{m}$ wird aus einer $2^{m}\times 2^{m}$ -Hadamard-Matrix, skaliert mit einem Normalisierungsfaktor, gebildet, welche eine Eingangsfolge $(x_{n})$ der Länge $2^{m}$ mittels einer Matrix-Vektor-Multiplikation in eine Ausgangsfolge $(X_{k})$ transformiert.

Die Hadamard-Transformation kann verschiedenartig definiert werden, unter anderem rekursiv, wobei von einer $1\times 1$ -Hadamard-Transformation $\operatorname {H} _{0}$ mit der Identität $\operatorname {H} _{0}=1$ ausgegangen wird und $\operatorname {H} _{m}$ für $m>0$ festgelegt wird zu:

\operatorname {H} _{m}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\operatorname {H} _{m-1}&\operatorname {H} _{m-1}\\\operatorname {H} _{m-1}&-\operatorname {H} _{m-1}\end{pmatrix}}

mit dem Normalisierungsfaktor ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ , der mitunter auch weggelassen wird.

Analog wie bei der diskreten Fourier-Transformation (DFT) und der optimierten schnellen Fourier-Transformation (FFT) existiert auch eine schnelle Hadamard-Transformation, welche die Anzahl $n$ der Operationen auf $n\cdot \operatorname {log} (n)$ mit $n=2^{m}$ reduziert.

Zusammenhang zur diskreten Fouriertransformation

Wie auch die Hadamard-Transformation lässt sich die diskrete Fourier-Transformation als Produkt einer Transformationsmatrix und eines Eingangsvektors formulieren. Sollen per DFT $N=2$ Elemente im Zeitbereich in den Spektralbereich transformiert werden, so lautet die DFT-Matrix

F_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}

.

Die Hadamard-Matrix ohne Skalierungsfaktor ist dann als Kronecker-Produkt aus einzelnen $2\times 2$ DFT-Matrizen konstruierbar:

H_{2^{k}}={\underset {k{\text{ mal}}}{\underbrace {{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes \ldots \otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}} }}

.

Literatur

Kathy J. Horadam: Hadamard Matrices and their Applications. Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 2007, ISBN 978-0-691-11921-2.

Einzelnachweise

Henry O. Kunz: On the Equivalence Between One-Dimensional Discrete Walsh-Hadamard and Multidimensional Discrete Fourier Transforms. In: IEEE Transactions on Computers. Bd. 28, Nr. 3, 1979, ISSN 0018-9340, S. 267–268, doi:10.1109/TC.1979.1675334.

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[Kunz1-1] Henry O. Kunz: On the Equivalence Between One-Dimensional Discrete Walsh-Hadamard and Multidimensional Discrete Fourier Transforms. In: IEEE Transactions on Computers. Bd. 28, Nr. 3, 1979, ISSN 0018-9340, S. 267–268, doi:10.1109/TC.1979.1675334.