Symmetrischer Blockplan

Alle symmetrischen Blockpläne mit ${\displaystyle \lambda =1}$ heißen projektive Ebenen. Ihre Parameter sind

${\displaystyle (v,k,\lambda )=\left(n^{2}+n+1,n+1,1\right)}$,

mit ${\displaystyle n}$ als Ordnung der projektiven Ebene. Ist diese Ordnung ${\displaystyle n}$ eine Primzahl oder eine Potenz einer Primzahl, so existiert auch die zugehörige projektive Ebene mit dieser Ordnung.[3] In keinem anderen Fall dagegen ist bis jetzt die Existenz einer projektiven Ebene bekannt. Für die beiden kleinsten Fälle dieser Art (n = 2·3 und n = 2·5) ist die Existenz bereits widerlegt. Es existiert damit weder ein (43,7,1)-Blockplan (dies wäre die projektive Ebene der Ordnung 6) noch ein (111,11,1)-Blockplan (dies wäre die seit langem vergeblich gesuchte projektive Ebene der Ordnung 10). Die kleinste Ordnung, zu welcher die Existenz einer projektiven Ebene noch nicht geklärt ist, ist n = 12; der zugehörige Blockplan hat die Parameter (157,13,1).

Alle symmetrischen Blockpläne mit ${\displaystyle \lambda =2}$ heißen Biplanes, ihre Parameter sind

${\displaystyle (v,k,\lambda )=\left({\frac {n^{2}+3n+4}{2}},n+2,2\right)}$,

mit ${\displaystyle n}$ als Ordnung der Biplane. Es sind bislang nur Biplanes der Ordnung n = 3, 4, 7, 9 und 11 bekannt.[4]

Alle symmetrischen Blockpläne mit ${\displaystyle \lambda =3}$ heißen Triplanes. Sie haben die Parameter

${\displaystyle (v,k,\lambda )=\left({\frac {n^{2}+5n+9}{3}},n+3,3\right)}$,

mit ${\displaystyle n}$ als Ordnung der Triplane. Es sind bislang nur Triplanes der Ordnung n = 4, 6, 7, 9 und 12 bekannt.[5]

Jeder symmetrische ${\displaystyle 2{\text{-}}(4n-1,2n-1,n-1)}$-Blockplan wird als Hadamard-Blockplan (genauer: Hadamard-2-Blockplan) bezeichnet.[6] Der Name kommt daher, dass jeder normalisierten ${\displaystyle 4n\times 4n}$ - Hadamard-Matrix ${\displaystyle (n\geq 2)}$ ein solcher Blockplan zugeordnet werden kann und umgekehrt.[7] Dabei werden die erste Zeile und die erste Spalte der Hadamard-Matrix H, die aufgrund der Normalisierung nur Einträge 1 enthalten, gestrichen. Die verbleibende Matrix (mit den Einträgen 1 bzw. −1) wird als Inzidenzstruktur des Hadamard-Blockplanes verwendet (indem man die Einträge −1 als 0 interpretiert).

Alle Hadamard-2-Blockpläne sind symmetrische Blockpläne. Sie lassen sich zu Hadamard-3-Blockplänen erweitern (diese gehören allerdings nicht mehr zu den symmetrischen Blockplänen). Es gilt:

Jeder Hadamard-${\displaystyle 2{\text{-}}(4n-1,2n-1,n-1)}$-Blockplan ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},\in )}$ lässt sich zu einem ${\displaystyle 3{\text{-}}(4n,2n,n-1)}$-Blockplan ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ erweitern.[8] Die Erweiterung sieht so aus: Man vereinbart ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'={\mathfrak {p}}\cup \{\infty \}}$ mit einem zusätzlichen Punkt ${\displaystyle \infty \not \in {\mathfrak {p}}}$ als neue Punktmenge und ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'=\{X\cup \{\infty \}|X\in {\mathfrak {B}}\}\cup \{{\mathfrak {p}}\setminus X|X\in {\mathfrak {B}}\}}$ als neue Blockmenge für ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$.[9] Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}=({\mathfrak {p}}',{\mathfrak {B}}',\in )}$ der 3-Blockplan. Diese Erweiterung ist bis auf Isomorphie die einzig mögliche Erweiterung für den Hadamard-2-Blockplan ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, so dass ${\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {E}}_{x}}$ für einen Punkt x in der Punktmenge von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ gilt und ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ein 3-Blockplan ist. ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$ ist die Ableitung von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ am Punkt x. Jeder ${\displaystyle 3{\text{-}}(4n,2n,n-1)}$-Blockplan ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ hat für ${\displaystyle n\geq 2}$ als Ableitung an jedem Punkt einen Hadamard-2-Blockplan.[10] Ein 3-Blockplan ist genau dann stark auflösbar, wenn er ein Hadamard-3-Blockplan ist.

Die Anzahl der Ovale maximaler Ordnung eines Blockplans ist eine solche Invariante. Besitzen zwei Lösungen eines Blockplans unterschiedlich viele Ovale gleicher Ordnung oder besitzt ein Blockplan Ovale größerer Ordnung als der andere, so sind diese Blockpläne nichtisomorph.

Beispiel: Es existieren genau drei nichtisomorphe Lösungen des (16,6,2)-Blockplans. Alle drei besitzen Ovale der Ordnung 4, jedoch in unterschiedlicher Anzahl:

• Lösung 1 enthält 60 Ovale der Ordnung 4
• Lösung 2 enthält 28 Ovale der Ordnung 4
• Lösung 3 enthält 12 Ovale der Ordnung 4

Damit sind diese drei Lösungen paarweise nichtisomorph.

Für Biplanes (symmetrische Blockpläne mit λ=2) können λ-chains[11] als Unterscheidungsmerkmal herangezogen werden.

Man wählt einen Block der Biplane und nennt ihn Indexblock. Jeder andere Block der Biplane kann durch das Punktepaar gekennzeichnet werden, welches dieser Block mit dem Indexblock gemeinsam hat. Nun korrespondiert jeder Punkt P der Biplane, welcher nicht auf dem Indexblock liegt, mit einer Permutation der Punkte des Indexblocks. In dieser Permutation sind zwei Punkte genau dann benachbart, wenn ein Block, der den Punkt P enthält, durch genau dieses Punktpaar gekennzeichnet ist. Die sich ergebenden Permutations-Zyklen nennt man λ-chains. Man führt diese Berechnung für jeden Indexblock und jeden nicht damit inzidenten Punkt durch und zählt die sich dabei ergebenden Zyklen-Längen. Die λ-chains werden in der Form ${\displaystyle a_{1}\cdot l_{1},a_{2}\cdot l_{2},\dotsc }$ mit den Anzahlen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc }$ und den Zyklenlängen ${\displaystyle l_{1},l_{2},\dotsc }$ dargestellt.

Beispiel: In diesem (16,6,2)-Blockplan ist ein Block als Indexblock markiert sowie jeder Punkt '9'. Die zusammengesetzten Kennzeichnungs-Punktpaare ergeben den Zyklus (2,7,12,6,15,8). Damit hat dieser λ-chain die Länge 6.

Die drei nichtisomorphen Lösungen des (16,6,2)-Blockplans haben diese λ-chains:

• Lösung 1 hat die λ-chains 320*3 (d. h. 320 λ-chains der Länge 3)
• Lösung 2 hat die λ-chains 192*3, 64*6 (d. h. 192 λ-chains der Länge 3 und 64 λ-chains der Länge 6)
• Lösung 3 hat die λ-chains 128*3, 96*6 (d. h. 128 λ-chains der Länge 3 und 96 λ-chains der Länge 6)

Damit sind diese drei Lösungen paarweise nichtisomorph.

Eine in vielen Fällen sehr wirkungsvolle Unterscheidungshilfe ist die Erstellung einer Signatur. Hierzu werden vier verschiedene Blöcke markiert: ein Indexblock ${\displaystyle I}$ sowie drei weitere Blöcke ${\displaystyle A,B,C}$. Sei ${\displaystyle p}$ die Anzahl aller Punkte, welche mit mehr als einem der insgesamt 4 Blöcke inzidiert. Sei ${\displaystyle q}$ die Häufigkeit des kleinsten ${\displaystyle p}$, wenn ${\displaystyle A,B,C}$ alle ${\displaystyle {\tbinom {v-1}{3}}}$ möglichen Kombinationen durchlaufen. Durchläuft nun auch der Indexblock ${\displaystyle I}$ sämtliche ${\displaystyle v}$ Möglichkeiten, so wird die Signatur in der Form ${\displaystyle a_{1}\cdot q_{1},a_{2}\cdot q_{2},\dotsc }$ mit den Anzahlen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc }$ und den ermittelten ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dotsc }$ dargestellt.

Sofern es zur eindeutigen Unterscheidung notwendig ist, wird neben dem kleinsten ${\displaystyle p}$ auch noch der nächstgrößere Wert in die Erstellung der Signatur aufgenommen. Dann wird sie in der Form ${\displaystyle a_{1}\cdot q_{1a}/q_{1b},\dotsc }$ dargestellt.

Beispiel: In diesem (16,6,2)-Blockplan sind ein Indexblock ${\displaystyle I}$ sowie drei Blöcke ${\displaystyle A,B,C}$ markiert:

Bei dieser Konstellation kommen die Punkte 2,4,6,11,12,13,15 und 16 in mehr als einem der vier Blöcke vor. Daher ist hier ${\displaystyle p}$ = 8. Durchläuft man mit den Blöcken ${\displaystyle A,B,C}$ alle ${\displaystyle {\tbinom {15}{3}}}$ möglichen Kombinationen, erhält man für ${\displaystyle p}$ folgende Häufigkeiten: 12*4, 32*6, 60*7, 312*8, 32*10, 7*12. Damit ist ${\displaystyle q}$ = 12. Lässt man nun noch den Indexblock über alle 16 Blöcke laufen, erhält man in diesem Beispiel jedes Mal den gleichen Wert für ${\displaystyle q}$ und die Signatur lautet somit 16*12.

Die drei nichtisomorphen Lösungen des (16,6,2)-Blockplans haben diese Signaturen:

• Lösung 1 hat die Signatur 16*20
• Lösung 2 hat die Signatur 16*12
• Lösung 3 hat die Signatur 16*8

Damit sind diese drei Lösungen paarweise nichtisomorph.