HNN-Erweiterung

Gegeben seien eine Gruppe ${\displaystyle G}$, zwei Untergruppen ${\displaystyle J,K\subset G}$ und ein Isomorphismus ${\displaystyle \alpha \colon J\to K}$.

Wenn ${\displaystyle G}$ die Präsentierung ${\displaystyle \langle S|R\rangle }$ hat dann wird ${\displaystyle G_{\alpha }}$, die HNN-Erweiterung von ${\displaystyle G}$ durch ${\displaystyle \alpha }$, durch folgende Präsentierung definiert:

${\displaystyle \langle S,t\ |\ R,\ tjt^{-1}=\alpha (j)\ \forall j\in J\rangle }$

Weil die Gruppe ${\displaystyle G_{\alpha }}$ die Erzeuger und Relationen von ${\displaystyle G}$ enthält ist es klar, dass es einen kanonischen Homomorphismus von ${\displaystyle G}$ nach ${\displaystyle G_{\alpha }}$ gibt. Higman, Neumann und Neumann bewiesen, dass dieser Morphismus injektiv ist.

Für Berechnungen ist es oft nützlich, Elemente von ${\displaystyle G_{\alpha }}$ in eine Normalform bringen zu können. Diese Normalform ist nicht eindeutig, das Lemma von Britton beschreibt exakt, wann zwei Normalformen demselben Element entsprechen.

Normalform:

Jedes Element ${\displaystyle w\in G_{\alpha }}$ kann geschrieben werden als:

${\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{N},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1}$

Das Lemma von Britton, bewiesen 1963 in "The word problem"[2] bietet eine Möglichkeit, die nichttrivialen Elemente einer HNN-Erweiterung zu beschreiben:

Lemma von Britton: Sei ${\displaystyle w\in G_{\alpha }}$ in obiger Normalform, so dass

• entweder ${\displaystyle N=0}$ und ${\displaystyle g_{0}\not =1\in G}$,
• oder ${\displaystyle N>0}$ und in w kommen keine Teilwörter der Form ${\displaystyle tjt^{-1}}$ mit ${\displaystyle j\in J}$ oder ${\displaystyle tkt^{-1}}$ mit ${\displaystyle k\in K}$ vor,

dann ist ${\displaystyle w\not =1}$ in ${\displaystyle G_{\alpha }}$.

Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ihre HNN-Erweiterung mittels eines Isomorphismus ${\displaystyle \alpha \colon J\to K}$ zweier Untergruppen.

• Wenn ${\displaystyle G}$ abzählbar ist, dann auch ${\displaystyle G_{\alpha }}$.
• Wenn ${\displaystyle G}$ endlich erzeugt ist, dann auch ${\displaystyle G_{\alpha }}$.
• Wenn ${\displaystyle G}$ torsionsfrei ist, dann auch ${\displaystyle G_{\alpha }}$.

Es sei ${\displaystyle X}$ ein zusammenhängender Raum mit zwei zusammenhängenden Teilmengen ${\displaystyle A,B\subset X}$, für die es einen Homöomorphismus ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$ gibt. Wir definieren auf ${\displaystyle X}$ eine Äquivalenzrelation durch

${\displaystyle x\sim y\Longleftrightarrow x\in A,y\in B,y=\phi (x)}$ oder ${\displaystyle x\in B,y\in A,y=\phi ^{-1}(x)}$

und bezeichnen mit ${\displaystyle Y=X/\sim }$ den Quotientenraum dieser Äquivalenzrelation. Dann ist die Fundamentalgruppe von ${\displaystyle Y}$ eine HNN-Erweiterung der Fundamentalgruppe von ${\displaystyle X}$.

Genauer: sei ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ein Basispunkt, ${\displaystyle y_{0}=\left[x_{0}\right]\in X}$ und für Basispunkte ${\displaystyle a_{0}\in A,b_{0}=\phi (a_{0})\in B}$ wähle Wege von ${\displaystyle a_{0}}$ bzw. ${\displaystyle b_{0}}$ nach ${\displaystyle x_{0}}$ und entsprechende Identifizierungen von ${\displaystyle \pi _{1}(A,a_{0}),\pi _{1}(B,b_{0})}$ mit Untergruppen ${\displaystyle J,K\in \pi _{1}(X,x_{0})}$. Der Homöomorphismus ${\displaystyle \phi }$ induziert einen Isomorphismus ${\displaystyle \phi _{*}\colon \pi _{1}(A,a_{0})\to \pi _{1}(B,b_{0})}$ und damit einen Isomorphismus ${\displaystyle \alpha \colon J\to K}$. Dann ist

${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})=\pi _{1}(X,x_{0})*_{\alpha }}$.

Der Beweis benutzt den Satz von Seifert und van Kampen.

Die HNN-Erweiterung ${\displaystyle G_{\alpha }}$ kann interpretiert werden als Fundamentalgruppe des Gruppengraphen mit einer Ecke v und einer Kante e, Kantengruppe ${\displaystyle G_{e}:=G}$, Eckengruppe ${\displaystyle G_{v}:=J}$ und Monomorphismen

${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1}\colon G_{e}\to G_{v}}$

gegeben durch ${\displaystyle \alpha _{0}=id}$ und ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha }$.

• H. Zieschang, E. Vogt, H.-D. Coldewey: Flächen und ebene diskontinuierliche Gruppen. (= Lecture Notes in Mathematics. Vol. 122). Springer-Verlag, Berlin/ New York 1970, ISBN 3-540-04911-8.
• Jean-Pierre Serre: Arbres, amalgames, SL₂. (= Astérisque. No. 46). Société Mathématique de France, Paris 1977, Kapitel 1.4.
• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. (= Mathematische Leitfäden). 2. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12226-X.
• Peter Scott, Terry Wall: Topological methods in group theory. (= London Math. Soc. Lecture Note Ser. 36). Homological group theory (Proc. Sympos., Durham, 1977), Cambridge Univ. Press, Cambridge/ New York 1979, ISBN 0-521-22729-1, S. 137–203. (online)
• John Stillwell: Geometry of surfaces. Corrected reprint of the 1992 original. Universitext. Springer-Verlag, New York 1992, ISBN 0-387-97743-0, Kapitel 9.2.2.

• HNN-Extension (Encyclopedia of Mathematics)
• Gruppen und Graphen

1. Graham Higman, B. H. Neumann, Hanna Neumann: Embedding theorems for groups. In: J. London Math. Soc. Band 24, 1949, S. 247–254.
2. John L. Britton: The word problem. In: Ann. of Math. Band 77, Nr. 2, 1963, S. 16–32.