H*-Algebra

Eine involutive ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra ${\displaystyle A}$ heißt H*-Algebra, wenn folgendes gilt:

• Es gibt ein Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ auf ${\displaystyle A}$, so dass ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle }$ für alle ${\displaystyle x\in A}$
• Für alle ${\displaystyle a,x,y\in A}$ gilt: ${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\langle x,a^{*}y\rangle }$ und ${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\langle x,ya^{*}\rangle }$.

Dabei wird die Involution auf ${\displaystyle A}$ mit * bezeichnet. Die erste Bedingung besagt gerade, dass die Banachalgebra ${\displaystyle A}$ mit ihrer Banachalgebrennorm ein Hilbertraum ist. Jedes ${\displaystyle a\in A}$ definiert via Linksmultiplikation einen linearen Operator ${\displaystyle L_{a}:A\rightarrow A,\,x\mapsto ax}$ und via Rechtssmultiplikation einen linearen Operator ${\displaystyle R_{a}:A\rightarrow A,\,x\mapsto xa}$. Die zweite Bedingung sagt dann, dass ${\displaystyle L_{a*}}$ (bzw. ${\displaystyle R_{a*}}$) die Hilbertraum-Adjungierte zu ${\displaystyle L_{a}}$ (bzw. ${\displaystyle R_{a}}$) ist, in Formeln ${\displaystyle L_{a^{*}}\,=\,(L_{a})^{*}}$ (bzw. ${\displaystyle R_{a^{*}}\,=\,(R_{a})^{*}}$), wobei der * auf der rechten Seite für die Hilbertraum-Adjunktion, das heißt für die Involution der C*-Algebra ${\displaystyle B(A)}$ der beschränkten linearen Operatoren auf dem Hilbertraum ${\displaystyle A}$, steht. Auf diese Weise hängt die Involution der Banachalgebra mit der Hilbertraumstruktur zusammen.

• Die Hilbert-Schmidt-Klasse ${\displaystyle A={\mathcal {S}}(H)}$ über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ ist eine H*-Algebra, wobei das Skalarprodukt durch ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Spur} (y^{*}x)}$ gegeben ist.
• Sei ${\displaystyle G}$ eine kompakte Gruppe und ${\displaystyle A}$ der Hilbertraum L²(G). Mit der Faltung als Multiplikation und der durch ${\displaystyle f^{*}(s):={\overline {f(s^{-1})}}}$ definierten Involution wird ${\displaystyle A}$ zu einer H*-Algebra.
• Sei ${\displaystyle J}$ eine beliebige, nicht-leere Menge, ${\displaystyle A:=\{a:J^{2}\rightarrow \mathbb {C}$ ;\,\sum _{i,j\in J}|a(i,j)|^{2}<\infty \}} und ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ eine reelle Zahl. Für ${\displaystyle a,b\in A}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ definiere

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(\lambda a)(i,j)&:=&\lambda a(i,j)\\(a+b)(i,j)&:=&a(i,j)+b(i,j)\\(ab)(i,j)&:=&\sum _{k\in J}a(i,k)b(k,j)\\(a^{*})(i,j)&:=&{\overline {a(j,i)}}\\\langle a,b\rangle &:=&\alpha \sum _{i,j\in J}a(i,j){\overline {b(i,j)}}\\\|a\|&:=&\langle a,a\rangle ^{1/2}\end{array}}}$.

Mit diesen Definitionen wird ${\displaystyle A}$ zu einer H*-Algebra, zur sogenannten vollen Matrixalgebra. Im Falle ${\displaystyle \alpha =1}$ ist die volle Matrixalgebra isometrisch isomorph zur Hilbert-Schmidt-Klasse ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\ell ^{2}(J))}$.

• Ein kontinuierliches Analogon zur vollen Matrixalgebra erhält man wie folgt. Für Funktionen ${\displaystyle f,g\in A:=L^{2}([0,1]\times [0,1])}$ definiere

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(fg)(s,t)&:=&\int _{0}^{1}f(s,r)g(r,t){\mathrm {d} }r\\(f^{*})(s,t)&:=&{\overline {f(t,s)}}\end{array}}}$.

Mit diesen Definitionen wird der Hilbertraum ${\displaystyle A}$ zu einer H*-Algebra.

• Der Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ist mit der komponentenweise erklärten Multiplikation und der durch die komponentenweise komplexe Konjugation definierten Involution eine kommutative H*-Algebra.

Die zum Satz von Artin-Wedderburn analoge Strukturtheorie der H*-Algebren wurde 1945 von Warren Ambrose aufgedeckt.

• Hilbertalgebra

• F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
• Warren Ambrose: Structure Theorems for a special class of Banach-Algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 57 (1945), Seiten 364–386