Hölderstetigkeit

Sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} }$ offen und ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }$ heißt hölderstetig zum Exponenten ${\displaystyle \alpha }$ genau dann, wenn eine positive reelle Zahl ${\displaystyle C}$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle x,y\in U}$ gilt:

${\displaystyle \vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y\vert ^{\alpha }}$.

Allgemeiner heißt eine Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \subset E\rightarrow F}$ zwischen zwei metrischen Räumen ${\displaystyle (E,d_{E})}$ und ${\displaystyle (F,d_{F})}$ hölderstetig mit Exponent ${\displaystyle \alpha }$ und Konstante ${\displaystyle C}$, falls für alle ${\displaystyle x,y\in \Omega }$

${\displaystyle d_{F}(f(x),f(y))\leq C(d_{E}(x,y))^{\alpha }}$

gilt.

Für ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$ ist die Funktion ${\displaystyle f\colon {[0,\infty [}\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)=x^{\alpha }}$ hölderstetig zum Exponenten ${\displaystyle \alpha }$ mit Konstante ${\displaystyle C=1}$, denn für ${\displaystyle 0<x<y}$ ergibt sich ${\displaystyle 1-{\frac {x^{\alpha }}{y^{\alpha }}}\leq 1-{\frac {x}{y}}\leq {\bigg (}1-{\frac {x}{y}}{\bigg )}^{\alpha }}$, also ${\displaystyle \vert x^{\alpha }-y^{\alpha }\vert \leq \vert x-y\vert ^{\alpha }}$.

• Die Definition ergibt im Spezialfall ${\displaystyle \alpha =1}$ die Lipschitzstetigkeit. Insbesondere ist also jede lipschitzstetige Funktion auch hölderstetig.
• Hölderexponenten außerhalb von ${\displaystyle (0,1]}$ werden üblicherweise nicht betrachtet. Im Falle von ${\displaystyle \alpha =0}$ erhielte man so beschränkte, aber nicht notwendigerweise stetige Funktionen. Im Falle ${\displaystyle \alpha >1}$ erfüllen nur konstante Funktionen die Bedingung aus der Definition.
• Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ etwa ${\displaystyle \delta$ :=(\varepsilon /C)^{1/\alpha }} . Dann folgt aus ${\displaystyle |x-y|\leq \delta }$ wie gewünscht ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon }$.
• Nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist hölderstetig. Dies zeigt folgendes Beispiel: Sei ${\displaystyle a\in (0,1)}$ eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall ${\displaystyle [0,a]}$ gemäß
  ${\displaystyle f(x):=\left\{{\begin{array}{cl}-1/\ln x&{\text{für }}0<x\leq a\\0&{\mbox{bei }}x=0\end{array}}\right.}$
  definierte Funktion ${\displaystyle f}$ ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten ${\displaystyle C>0}$ und ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ mit ${\displaystyle f(x)\leq Cx^{\alpha }}$ für alle ${\displaystyle x\in (0,a]}$, also insbesondere
  ${\displaystyle C\geq \lim \limits _{x\downarrow 0}{\frac {-x^{-\alpha }}{\ln x}}=\lim \limits _{x\downarrow 0}\alpha x^{-\alpha }}$
  laut Regel von de L’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.

• Hölderraum
• Lokale Hölderstetigkeit

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2002.