Hölder-Ungleichung

Gegeben sei ein Maßraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ und messbare Funktionen

${\displaystyle f,g\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

Für ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ und mit der Konvention ${\displaystyle \infty ^{p}=\infty ^{\frac {1}{p}}=\infty }$ definiert man

${\displaystyle H_{p}(f)=\left(\int _{X}|f|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{\tfrac {1}{p}}}$

und

${\displaystyle H_{\infty }(f)=\mathrm {ess} \sup _{x\in X}|f(x)|}$

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$ mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$, wobei ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}=0}$ vereinbart ist, gilt

${\displaystyle H_{1}(fg)\leq H_{p}(f)\cdot H_{q}(g)}$

Man bezeichnet ${\displaystyle q}$ als den zu ${\displaystyle p}$ konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ der Raum der ${\displaystyle p}$-fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ die Lp-Norm, so gilt für ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ),g\in {\mathcal {L}}^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ immer

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}}$.

Wählt man als Maßraum ${\displaystyle ([a,b],{\mathcal {B}}([a,b]),\lambda )}$, also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{2}([a,b],{\mathcal {B}}([a,b]),\lambda )}$, so lautet die Hölder-Ungleichung mit ${\displaystyle p=q=2}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}|fg|\mathrm {d} \lambda \leq \left(\int _{a}^{b}|f|^{2}\mathrm {d} \lambda \right)^{\tfrac {1}{2}}\cdot \left(\int _{a}^{b}|g|^{2}\mathrm {d} \lambda \right)^{\tfrac {1}{2}}}$

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Wählt man als Maßraum die endliche Menge ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q},}$

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}}$. Für ${\displaystyle p=q=2}$ erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{2}\cdot \|y\|_{2}}$

Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} }$, wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|b_{k}|^{q}\right)^{1/q}}$.

für reelle oder komplexe Folgen ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} },(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$. Im Grenzfall ${\displaystyle q=\infty }$ entspricht dies

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|\right)\cdot \sup _{k\in \mathbb {N} }|b_{k}|}$.

Es seien ${\displaystyle p_{j}\in [1,\infty ],j=1,\ldots ,m}$ sowie ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{r}}:=\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{p_{j}}}}$ und ${\displaystyle f_{j}\in L^{p_{j}}(S)}$ für alle ${\displaystyle j=1,\ldots ,m}$.

Dann folgt

${\displaystyle \prod _{j=1}^{m}f_{j}\in L^{r}(S)}$

und es gilt die Abschätzung

${\displaystyle \left\|\prod _{j=1}^{m}f_{j}\right\|_{r}\leq \prod _{j=1}^{m}\left\|f_{j}\right\|_{p_{j}}.}$

Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.

Falls ${\displaystyle (a_{i,j})_{i\in \{1,2,\dots ,n\},j\in \{1,2,\dots ,m\}}}$ eine Familie von ${\displaystyle m}$ Folgen nicht-negativer reeller Zahlen ist, und ${\displaystyle (\lambda _{j})_{j\in \{1,\dots ,m\}}}$ nicht-negative reelle Zahlen mit ${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}=1}$ sind, so gilt

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{i,j}^{\lambda _{j}}\leq \prod _{j=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\right)^{\lambda _{j}}.}$

Es sei ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ für fast alle ${\displaystyle x\in S}$.

Dann gilt für alle ${\displaystyle r>1}$ die umgekehrte Höldersche Ungleichung

${\displaystyle \int _{S}|f(x)g(x)|dx\geq \left(\int _{S}|f(x)|^{\frac {1}{r}}dx\right)^{r}\left(\int _{S}|g(x)|^{-{\frac {1}{r-1}}}dx\right)^{-(r-1)}.}$

Für ${\displaystyle p=1,q=\infty }$ (und umgekehrt) ist die Aussage der Hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass ${\displaystyle 1<p,q<\infty }$ gilt. Ohne Einschränkung seien ${\displaystyle \|f\|_{p}>0}$ und ${\displaystyle \|g\|_{q}>0}$. Nach der youngschen Ungleichung gilt:

${\displaystyle AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}}$

für alle ${\displaystyle A,B\geq 0}$. Setze hierin speziell ${\displaystyle A:={\tfrac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}},\,B:={\tfrac {|g(x)|}{\|g\|_{q}}}}$ ein. Integration liefert

${\displaystyle {\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{q}}}\int _{S}|fg|\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

was die Höldersche Ungleichung impliziert.

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über ${\displaystyle m}$ geführt. Der Fall ${\displaystyle m=1}$ ist trivial. Sei also nun ${\displaystyle m\geq 2}$ und ohne Einschränkung sei ${\displaystyle p_{1}\leq \cdots \leq p_{m}}$. Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: ${\displaystyle p_{m}=\infty .}$ Dann ist ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{r}}=\sum _{j=1}^{m-1}{\frac {1}{p_{j}}}.}$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

${\displaystyle \|f_{1}\cdots f_{m}\|_{r}\leq \|f_{m}\|_{\infty }\|f_{1}\cdots f_{m-1}\|_{r}\leq \|f_{m}\|_{\infty }\|f_{1}\|_{p_{1}}\cdots \|f_{m-1}\|_{p_{m-1}}.}$

Fall 2: ${\displaystyle p_{m}<\infty }$. Nach der (üblichen) Hölderschen Ungleichung für die Exponenten ${\displaystyle {\tfrac {p_{m}}{p_{m}-r}},{\tfrac {p_{m}}{r}}}$ gilt

${\displaystyle \int _{S}|f_{1}\cdots f_{m-1}|^{r}|f_{m}|^{r}\mathrm {d} \mu \leq \left(\int _{S}|f_{1}\cdots f_{m-1}|^{\frac {rp_{m}}{p_{m}-r}}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {p_{m}-r}{p_{m}}}\left(\int _{S}|f_{m}|^{p_{m}}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {r}{p_{m}}},}$

also ${\displaystyle \textstyle \|f_{1}\cdots f_{m}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{m-1}\|_{\tfrac {rp_{m}}{p_{m}-r}}\|f_{m}\|_{p_{m}}}$. Nun ist ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{m-1}{\frac {1}{p_{j}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{m}}}={\frac {p_{m}-r}{rp_{m}}}}$. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Die umgekehrte Höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) Hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten ${\displaystyle p:=r}$ und ${\displaystyle q:=r'={\tfrac {p}{p-1}}}$ wählt. Man erhält damit:

${\displaystyle \int _{S}|f|^{\frac {1}{r}}\mathrm {d} \mu =\int _{S}\left(|fg|^{\frac {1}{r}}\cdot |g|^{-{\frac {1}{r}}}\mathrm {d} \mu \right)\leq \left(\int _{S}|fg|\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{r}}\left(\int _{S}|g|^{-{\frac {r'}{r}}}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{r'}}.}$

Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit ${\displaystyle r}$ liefert die umgekehrte Höldersche Ungleichung.

Mit der Hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im ${\displaystyle L^{p}}$) leicht beweisen.

Seien ${\displaystyle f\in L^{p_{0}}(S)\cap L^{p_{1}}(S)}$ und ${\displaystyle 1\leq p_{1}\leq p\leq p_{0}}$, dann folgt ${\displaystyle f\in L^{p}(S)}$ und es gilt die Interpolationsungleichung

${\displaystyle \|f\|_{p}\leq \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta }\|f\|_{p_{1}}^{\theta }}$

mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}=:{\tfrac {1-\theta }{p_{0}}}+{\tfrac {\theta }{p_{1}}}}$ beziehungsweise ${\displaystyle \theta$ :={\tfrac {p_{1}}{p}}{\tfrac {p_{0}-p}{p_{0}-p_{1}}}} für ${\displaystyle p_{0}\neq p_{1}}$.

Beweis: Ohne Einschränkung sei ${\displaystyle p_{1}<p<p_{0}}$. Dies erkennt man durch ausführliche Fallunterscheidung. Fixiere ${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$ mit ${\displaystyle p=\lambda p_{0}+(1-\lambda )p_{1}}$. Dies ist möglich, da ${\displaystyle p_{0}<p<p_{1}}$und ${\displaystyle p}$ somit auf der Verbindungsstrecke zwischen ${\displaystyle p_{0}}$ und ${\displaystyle p_{1}}$ liegt. Beachte, dass ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$ konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der Hölderschen Ungleichung folgt

${\displaystyle \int _{S}|f|^{p}\mathrm {d} \mu =\int _{S}|f|^{\lambda p_{0}}|f|^{(1-\lambda )p_{1}}\mathrm {d} \mu \leq \left(\int _{S}|f|^{p_{0}}\mathrm {d} \mu \right)^{\lambda }\left(\int _{S}|f|^{p_{1}}\mathrm {d} \mu \right)^{1-\lambda }}$.

Potenzieren der Ungleichung mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}}$ und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

${\displaystyle \|f\star g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$

für ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1+{\tfrac {1}{r}}}$ und ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$.