Gumbel-Verteilung

Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört. Die Verteilung heißt auch doppelte Exponentialverteilung.[1]

Definition

Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße $X$ genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter $\beta >0$ und Lageparameter $\mu \in \mathbb {R}$ , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)={\frac {1}{\beta }}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R}

und damit die Verteilungsfunktion

F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R}

besitzt.

Standard-Fall

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter $\mu =0$ und $\beta =1$ gemeint. Dieser Spezialfall wird manchmal auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet.[2] Damit ergibt sich die Dichte

f(x)=\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R}

und die Verteilungsfunktion

F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R}

Durch die affin-linearen Transformationen $X\mapsto Y:=\mu +\beta X$ mit $\beta >0$ erhält man die oben angegebene Lage-Skalen-Familie von Verteilungen mit den Eigenschaften

$F_{Y}(x)=F\left({\frac {x-\mu }{\beta }}\right)$ ,
$f_{Y}(x)={\frac {1}{\beta }}f\left({\frac {x-\mu }{\beta }}\right)$ ,
$\operatorname {E} (Y)=\mu +\beta \operatorname {E} (X)$ und
$\operatorname {Var} (Y)=\beta ^{2}\operatorname {Var} (X).$

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

\operatorname {E} (X)=\mu +\beta \gamma

.

Dabei ist $\gamma \approx 0{,}5772$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Varianz

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

\operatorname {Var} (X)={\frac {(\pi \beta )^{2}}{6}}

.

Standardabweichung

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

\sigma ={\frac {\pi \beta }{\sqrt {6}}}

.

Anwendung

Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

Hydrologie, insbesondere Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
Verkehrsplanung
Meteorologie (Wettervorhersage)

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Extremwertverteilung

Die Gumbel-Verteilung mit den Parametern $\mu =0$ und $\beta =1$ ist eine Extremwertverteilung vom Typ I[1] und ergibt sich als Spezialfall für $\xi =0,\mu =0,\sigma =0$ aus der verallgemeinerten Extremwertverteilung, die die Extremwertverteilungen der Typen I, II und III und die zugehörigen Verteilungstypen in einer Verteilungsfamilie zusammenfasst.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution auf MathWorld

Einzelnachweise

P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Exponentialverteilung, doppelte, S. 111-112.
Hans-Otto Georgii: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 5. Auflage. De Gruyter, Berlin / Boston 2015, ISBN 978-3-11-035969-5, S. 166, doi:10.1515/9783110359701.

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[PHM-111-1] P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Exponentialverteilung, doppelte, S. 111-112.

[2] Hans-Otto Georgii: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 5. Auflage. De Gruyter, Berlin / Boston 2015, ISBN 978-3-11-035969-5, S. 166, doi:10.1515/9783110359701.