Rotationskörper

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion ${\displaystyle f}$ im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$, die ${\displaystyle x}$-Achse und die beiden Geraden ${\displaystyle x=a}$ und ${\displaystyle x=b}$ begrenzt wird, um die ${\displaystyle x}$-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:

${\displaystyle V=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(x))^{2}\mathrm {d} x}$

Disc integration

Bei Rotation (um die ${\displaystyle y}$-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion ${\displaystyle f}$ im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$, die ${\displaystyle y}$-Achse und die beiden Geraden ${\displaystyle y=f(a)}$ und ${\displaystyle y=f(b)}$ begrenzt wird, muss man ${\displaystyle y=f(x)}$ umformen zur Umkehrfunktion ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$. Diese existiert, wenn ${\displaystyle f}$ stetig und streng monoton ist. Falls nicht (wie z. B. im Bild rechts oben), lässt sich ${\displaystyle f}$ vielleicht in Abschnitte zerlegen, in denen ${\displaystyle f}$ jeweils stetig und streng monoton ist. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Volumina müssen dann separat berechnet und addiert werden.

${\displaystyle V=\pi \cdot \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}(f^{-1}(y))^{2}\mathrm {d} y}$

Wenn man hier ${\displaystyle y=f(x)}$ substituiert, erhält man mithilfe der Substitutionsregel für Integrale für das Volumen um die ${\displaystyle y}$-Achse

${\displaystyle V=\pi \cdot \int _{\min(a,b)}^{\max(a,b)}x^{2}\mathrm {d} y=\pi \cdot \int _{\min(a,b)}^{\max(a,b)}x^{2}\cdot \left|f'(x)\right|\mathrm {d} x}$.

Der Absolutwert von ${\displaystyle f'}$ und die min/max-Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral.

Shell integration

Bei Rotation (um die ${\displaystyle y}$-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion ${\displaystyle f}$ im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$, die ${\displaystyle x}$-Achse und die beiden Geraden ${\displaystyle x=a}$ und ${\displaystyle x=b}$ begrenzt wird, gilt die Formel:

${\displaystyle V=2\pi \,\int _{a}^{b}x\,f(x)\,\mathrm {d} x}$

Der Flächeninhalt ${\displaystyle M}$ der Mantelfläche eines Rotationskörpers, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie (Profillinie) und dem Umfang des Kreises (Schwerpunktkreis), der durch die Rotation des Linienschwerpunktes der Profillinie erzeugt wird:

${\displaystyle M=L\cdot 2\pi R}$

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion ${\displaystyle f}$ der erzeugenden Linie ergibt sich der Flächeninhalt als:

${\displaystyle M=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x}$

Mit ${\displaystyle \textstyle R=y_{s}={\frac {1}{L}}\int _{L}y\mathrm {d} L}$ als ${\displaystyle y}$-Koordinate des Linienschwerpunktes der Linie ${\displaystyle L}$ und ihrem Linienelement ${\displaystyle \mathrm {d} L}$ findet man

${\displaystyle M=L\cdot 2\pi R=L\cdot 2\pi \cdot {\frac {1}{L}}\int _{L}f(x)\mathrm {d} L=2\pi \int _{L}f(x)\mathrm {d} L}$,

was das obige Ergebnis darstellt, wenn noch ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} L={\sqrt {(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x}$ mit den ${\displaystyle x}$-Intervallgrenzen ${\displaystyle [a,b]}$ eingesetzt wird.

${\displaystyle M=2\pi \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^{2}}}\mathrm {d} y}$

Wie oben bei der Volumenberechnung muss auch hier gegebenenfalls die Rechnung für die stetigen und streng monotonen Abschnitte von ${\displaystyle f(x)}$, in denen die Umkehrfunktion existiert, separat durchgeführt werden.

Beispiel: Oberfläche eines Rotationstorus:

${\displaystyle M=2\pi r\cdot 2\pi R=4\pi ^{2}rR}$

Siehe auch: Mantelfläche

Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises, der durch die Rotation des Flächenschwerpunktes dieser Fläche erzeugt wird:

${\displaystyle V=A\cdot 2\pi R}$

Im Folgenden wird die Rotation einer Fläche um die ${\displaystyle x}$-Achse betrachtet, der Fall einer gekippten Rotationsachse lässt sich durch Koordinatentransformation erreichen. Im Fall der Rotation um die ${\displaystyle x}$-Achse einer Fläche zwischen ${\displaystyle f(x)}$, der ${\displaystyle x}$-Achse und den Grenzen ${\displaystyle x=a}$ und ${\displaystyle x=b}$ ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch ${\displaystyle f(x)}$ mit ${\displaystyle R}$ als Flächenschwerpunkt zu

${\displaystyle V=A\cdot 2\pi {\tfrac {1}{A}}\int _{A}y\mathrm {d} A=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(x))^{2}\mathrm {d} x}$

mit ${\displaystyle y={\tfrac {f(x)}{2}}}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} A=f(x)\mathrm {d} x}$.

Beispiel: Volumen eines Rotationstorus:

${\displaystyle V=\pi r^{2}\cdot 2\pi R=2\pi ^{2}r^{2}R}$