Gruppenobjekt

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Kategorie mit endlichen Produkten. Wir bezeichnen das Finalobjekt mit ${\displaystyle 1}$. Ein Gruppenobjekt in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist ein Objekt ${\displaystyle G}$ von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ zusammen mit drei Morphismen

• ${\displaystyle m:G\times G\to G}$, Multiplikation
• ${\displaystyle e:1\to G}$, Inklusion des neutralen Elements
• ${\displaystyle i:G\to G}$, Inversion

sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle m}$ ist assoziativ, das heißt ${\displaystyle m\circ (m\times \mathrm {id} _{G})=m\circ (\mathrm {id} _{G}\times m)}$ als Morphismen ${\displaystyle G\times G\times G\to G}$.
• ${\displaystyle e}$ ist ein zweiseitiges neutrales Element für ${\displaystyle m}$, das heißt ${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times e)=p_{1}}$ und ${\displaystyle m\circ (e\times \mathrm {id} _{G})=p_{2}}$, wobei ${\displaystyle p_{1}:G\times G\to G}$ (bzw. ${\displaystyle p_{2}}$) die Projektion auf den ersten (bzw. zweiten) Faktor ist.
• ${\displaystyle i}$ ist ein zweiseitiges inverses Element für ${\displaystyle m}$, das heißt ${\displaystyle m\circ (i\times \mathrm {id} _{G})\circ \Delta _{G}=e}$ und ${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times i)\circ \Delta _{G}=e}$. Hier bezeichnet ${\displaystyle \Delta _{G}:G\to G\times G}$ die Diagonale.

Diese Regeln sind den Gruppenaxiomen nachempfunden. Ein Morphismus von Gruppenobjekten ${\displaystyle (G,m,e,i)\to (G',m',e',i')}$ ist ein Morphismus ${\displaystyle f:G\to G'}$, der mit den Strukturmorphismen verträglich ist, das heißt ${\displaystyle f\circ m=m'\circ (f\times f)}$, ${\displaystyle f\circ i=i'\circ f}$ und ${\displaystyle f\circ e=e'}$. Die Klasse der Gruppenobjekte von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ bildet zusammen mit Morphismen von Gruppenobjekten wieder eine Kategorie, die wir für den Rest des Artikels mit ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}({\mathcal {C}})}$ bezeichnen.

Alternativ kann ein Gruppenobjekt als darstellbarer Funktor ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Grp} }$ in die Kategorie der Gruppen ${\displaystyle \mathbf {Grp} }$ beschrieben werden. Nach dem Yoneda-Lemma sind beide Definitionen äquivalent.

Ein Gruppenobjekt ist kommutativ, wenn ${\displaystyle m\circ \tau =m}$ gilt. Hierbei ist ${\displaystyle \tau :G\times G\to G\times G}$ die Vertauschung. Sie wird von der universellen Eigenschaft des Produktes von ${\displaystyle p_{2}}$ und ${\displaystyle p_{1}}$ induziert.

• Jede Gruppe kann als Gruppenobjekt in der Kategorie der Mengen ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ aufgefasst werden. Umgekehrt definiert jedes Gruppenobjekt in ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ eine Gruppe. Die Kategorien ${\displaystyle \mathbf {Grp} }$ und ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}(\mathbf {Set} )}$ sind also äquivalent.
• Auf ähnliche Weise ist jede topologische Gruppe ein Gruppenobjekt in der Kategorie der topologischen Räume.
• Eine abelsche Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Gruppen. Die Strukturmorphismen eines Gruppenobjektes in der Kategorie der Gruppen stimmen nach dem Eckmann-Hilton-Argument mit der ursprünglichen Gruppenstruktur überein.
• Eine Lie-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten.
• Eine Lie-Supergruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Supermannigfaltigkeiten.
• Eine H-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Homotopiekategorie topologischer Räume ${\displaystyle \mathbf {hTop} }$.
• Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten.
• Ein Gruppenschema ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Schemata. Elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten können als Gruppenschemata aufgefasst werden.
• Eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum oder einem Situs ist ein abelsches Gruppenobjekt in der Kategorie der Garben.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine abelsche Kategorie, so ist jedes Objekt auf eindeutige Weise ein kommutatives Gruppenobjekt.
• Eine strikte 2-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der kleinen Kategorien.

Analog kann man in einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit endlichen Koprodukten sogenannte Kogruppenobjekte definieren. Wir sprechen von Komultiplikation, koneutralem Element und Koinversion. Die Kogruppenobjekte von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sind gerade die Gruppenobjekte von ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$. Wir können Kogruppenobjekte auch als darstellbare Funktoren ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathbf {Grp} }$ auffassen. Die Kogruppenobjekte bilden eine Kategorie ${\displaystyle {\mathsf {CoGrp}}({\mathcal {C}})}$. Ein Kogruppenobjekt ist kokommutativ, wenn es als Gruppenobjekt von ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ kommutativ ist.

Beispiele für Kogruppenobjekte sind:

• Die Kategorie ${\displaystyle {\mathsf {CoGrp}}(\mathbf {Set} )}$ enthält nur die leere Kogruppe ${\displaystyle \emptyset }$ als Objekt. Genauso enthält ${\displaystyle {\mathsf {CoGrp}}(\mathbf {Top} )}$ nur die leere Kogruppe.
• Eine kommutative Hopf-Algebra ist ein Kogruppenobjekt in der Kategorie der kommutativen Ringe. Die Kategorie der kommutativen Hopf-Algebren ist anti-äquivalent zur Kategorie der affinen Gruppenschemata.[1]
• Eine H-Kogruppe ist ein Kogruppenobjekt in der Homotopiekategorie punktierter topologischer Räume ${\displaystyle \mathbf {hTop} _{*}}$.
• In einer abelschen Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ besitzt jedes Objekt eine eindeutige kokommutative Kogruppenstruktur. Die Komultiplikation ist durch die Diagonale gegeben.[2]

Ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ein Topos, so ist ein Modell der Theorie der Gruppen über ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ gerade ein Gruppenobjekt in ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. In diesem Zusammenhang können auch Torsore über Gruppenobjekten definiert werden.[3]

• Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. 2017. §8.2 "Gruppenobjekte"
• Saunders MacLane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1997. §III.6 "Groups in categories"

1. Group object in nLab
2. Cogroup in nLab
3. Torsor in nLab