Gruppe (Mathematik)

Eine Gruppe ist ein Paar ${\displaystyle (G,*)}$ bestehend aus einer Menge ${\displaystyle G}$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle *}$ auf ${\displaystyle G}$. Dabei erfüllt die (in Infixnotation geschriebene) Abbildung

${\displaystyle *\colon \,{\begin{cases}G\times G&\to &G\\(a,b)&\mapsto &a*b\end{cases}}}$

die folgenden, Gruppenaxiome genannten, Forderungen:[3]

Eine Gruppe ist also ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses hat.

Wenn ${\displaystyle (G,*)}$ eine Gruppe ist, heißen die Elemente der Menge ${\displaystyle G}$ Elemente der Gruppe, kurz Gruppenelemente.

Die Gruppenaxiome können formal abgeschwächt werden, indem man die Axiome für die Existenz des neutralen Elements und der inversen Elemente folgendermaßen ersetzt:

Es gibt ein ${\displaystyle e\in G}$, so dass gilt:

• Für alle ${\displaystyle a\in G}$ gilt: ${\displaystyle e*a=a}$ – hiermit heißt ${\displaystyle e}$ linksneutrales Element.
• Zu jedem ${\displaystyle a\in G}$ existiert ein ${\displaystyle b\in G}$ mit ${\displaystyle b*a=e}$ – so ein Element ${\displaystyle b}$ heißt zum Element ${\displaystyle a}$ linksinverses Element (bezüglich des linksneutralen Elements ${\displaystyle e}$).

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition.[7]

Eine Gruppe kann auch als eine besondere algebraische Struktur definiert werden. Mit den schwachen Gruppenaxiomen erhält man dann:

Eine Gruppe ist ein Quadrupel ${\displaystyle (G,*,e,{^{-1}})}$ bestehend aus einer Menge ${\displaystyle G}$ sowie einer assoziativen zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle *}$ auf ${\displaystyle G}$, einer nullstelligen Verknüpfung ${\displaystyle e}$ und einer einstelligen Verknüpfung ${\displaystyle ^{-1}}$ auf ${\displaystyle G}$, sodass für jedes ${\displaystyle a\in G}$ gilt ${\displaystyle e*a=a}$ und ${\displaystyle a^{-1}*a=e}$.

Eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

• Kommutativität: Für alle Gruppenelemente ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gilt ${\displaystyle a*b=b*a}$.

Andernfalls, d. h., wenn es Gruppenelemente ${\displaystyle a,b\in G}$ gibt, für die ${\displaystyle a*b\neq b*a}$ ist, heißt die Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ nicht-abelsch (oder nicht-kommutativ).

Bei einer Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ wird die Mächtigkeit ${\displaystyle |G|}$ auch als Ordnung der Gruppe bezeichnet. Für eine endliche Gruppe ${\displaystyle G=\{a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\}}$ ist die Ordnung also einfach die Anzahl ${\displaystyle n}$ der Gruppenelemente.

Die Ordnung eines Elementes ${\displaystyle g\in G}$ ist definiert durch ${\displaystyle \operatorname {ord} (g):=\min(\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=e\}\cup \{\infty \})}$, wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element der Gruppe ${\displaystyle G}$ repräsentiert.

Bemerkungen:

• In jeder Gruppe hat genau das neutrale Element die Ordnung 1.
• Für endliche Gruppen ${\displaystyle G}$ gilt:

${\displaystyle \forall g\in G\colon \operatorname {ord} (g)\mid |G|}$ (gesprochen: die Ordnung von ${\displaystyle g}$ teilt die Gruppenordnung ${\displaystyle |G|}$)

Häufig wird für die Verknüpfung ${\displaystyle *}$ das Symbol ${\displaystyle \cdot }$ benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Das neutrale Element heißt dann Einselement und wird auch durch ${\displaystyle 1}$ symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden. Für Verknüpfungen von mehreren Elementen wird dann auch das Produktzeichen verwendet. Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ wird die ${\displaystyle n}$-fache Verknüpfung eines Gruppenelements ${\displaystyle a}$ mit sich selbst als Potenz ${\displaystyle a^{n}}$ geschrieben und man definiert ${\displaystyle a^{0}=1}$ sowie ${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}}$.

Die Gruppeneigenschaften lassen sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung ${\displaystyle *}$ das Symbol ${\displaystyle +}$ benutzt wird. Das neutrale Element heißt dann Nullelement und wird durch ${\displaystyle 0}$ symbolisiert. Das zum Gruppenelement ${\displaystyle a}$ inverse Element wird in einer additiv geschriebenen Gruppe nicht durch ${\displaystyle a^{-1}}$, sondern durch ${\displaystyle -a}$ symbolisiert. Eine ${\displaystyle n}$-fache Summe ${\displaystyle a+a+\dotsb +a}$ wird hier mit ${\displaystyle n\cdot a}$ bezeichnet und man setzt ${\displaystyle 0\cdot a=0}$ sowie ${\displaystyle (-n)\cdot a=n\cdot (-a)}$. Eine abelsche Gruppe kann auf diese Weise als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aufgefasst werden. Üblich ist die additive Schreibweise nur bei abelschen Gruppen, während nicht abelsche oder beliebige Gruppen zumeist multiplikativ geschrieben werden.[8]

Ist die Verknüpfung aus dem Zusammenhang klar, so schreibt man für eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ häufig nur ${\displaystyle G}$.

Seien ${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}}$ Elemente einer Gruppe ${\displaystyle G}$, wobei ${\displaystyle g_{i}=g_{j}}$ für ${\displaystyle i\neq j}$ erlaubt ist. Als Wort bezeichnet man jedes Produkt der Form

${\displaystyle g_{1}^{\varepsilon _{1}}g_{2}^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n}^{\varepsilon _{n}}}$

der Länge ${\displaystyle n\geq 0}$ mit Exponenten ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$.[9]

Beispiel: seien ${\displaystyle a,b,c}$ Elemente einer Gruppe, dann sind

${\displaystyle ab,\quad aab^{-1},\quad b\quad }$ und ${\displaystyle \quad b^{-1}b^{-1}a^{-1}ba}$

Wörter dieser Gruppe.

Häufig fasst man in der Notation sich wiederholende Exponenten zusammen. Beispielsweise das Wort

${\displaystyle aaabbc^{-1}c^{-1}a^{-1}b^{-1}b^{-1}b^{-1}ccba^{-1}a^{-1}}$

kann verkürzt als

${\displaystyle a^{3}b^{2}c^{-2}a^{-1}b^{-3}c^{2}ba^{-2}}$

notiert werden.

• Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition bildet eine (abelsche) Gruppe. Zusammen mit der Multiplikation ist die Menge der ganzen Zahlen allerdings keine Gruppe (das inverse Element zu 2 wäre 1/2).
• Die Menge der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ beziehungsweise die Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist zusammen mit der Addition eine Gruppe. Zusammen mit der Multiplikation sind die Mengen ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \{0\}}$ und ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ebenfalls Gruppen.

Die Menge, die nur ein Element ${\displaystyle e}$ hat, kann als Gruppe aufgefasst werden. Da jede Gruppe ein neutrales Element hat, muss genau dieses eine Element dann als das neutrale Element aufgefasst werden. Dann gilt also ${\displaystyle e*e=e}$. Mittels dieser Gleichheit können auch die restlichen Gruppenaxiome bewiesen werden. Die Gruppe mit genau einem Element wird die triviale Gruppe genannt.

Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, deren Elemente als Potenz eines ihrer Elemente dargestellt werden können. Unter Verwendung der multiplikativen Notation lauten die Elemente einer zyklischen Gruppe

${\displaystyle \ldots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},e=a^{0},a,a^{2},a^{3},\ldots }$,

wobei ${\displaystyle a^{-2}=a^{-1}\cdot a^{-1}}$ meint und ${\displaystyle e}$ das neutrale Element der Gruppe bezeichnet. Das Element ${\displaystyle a}$ wird Erzeuger oder Primitivwurzel der Gruppe genannt. In additiver Notation ist ein Element eine Primitivwurzel, wenn die Elemente der Gruppe durch

${\displaystyle \ldots ,-a-a,-a,0,a,a+a,\ldots }$

dargestellt werden können.

Die 6. komplexen Einheitswurzeln können als zyklische Gruppe aufgefasst werden.

Beispielsweise ist die im ersten Abschnitt betrachtete additive Gruppe der ganzen Zahlen eine zyklische Gruppe mit der Primitivwurzel ${\displaystyle 1}$. Diese Gruppe hat unendlich viele Elemente. Im Gegensatz dazu hat die multiplikative Gruppe der n-ten komplexen Einheitswurzeln endlich viele Elemente. Diese Gruppe besteht aus allen komplexen Zahlen ${\displaystyle z}$, die die Gleichung

${\displaystyle z^{n}=1}$

erfüllen. Die ${\displaystyle n}$ Gruppenelemente können als Eckpunkte eines regulären n-Ecks visualisiert werden. Für ${\displaystyle n=6}$ ist dies in der Grafik auf der rechten Seite geschehen. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation der komplexen Zahlen. Im rechten Bild entspricht also die Multiplikation mit ${\displaystyle z}$ der Drehung des Polygons im Gegenuhrzeigersinn um ${\displaystyle 60^{\circ }}$.

Zyklische Gruppen haben die Eigenschaft, durch die Anzahl ihrer Elemente eindeutig bestimmt zu sein. Das heißt, zwei zyklische Gruppen mit jeweils ${\displaystyle n}$ Elementen sind isomorph, es kann also ein Gruppenisomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen gefunden werden. Insbesondere sind also alle zyklischen Gruppen mit unendlich vielen Elementen isomorph zur zyklischen Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ der ganzen Zahlen.

Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ besteht aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge. Die Gruppenoperation ist die Komposition ${\displaystyle \circ }$ (Hintereinanderausführung) der Permutationen, das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ ist endlich und besitzt die Ordnung ${\displaystyle n!}$. Sie ist für ${\displaystyle n\geq 3}$ nicht abelsch.