Grundrechenart

Die Grundrechenarten werden während der ersten Schuljahre im Mathematikunterricht behandelt. In der Grundschule (Primarstufe) wird zunächst das Rechnen mit kleinen natürlichen Zahlen gelehrt und später auf größere Zahlen erweitert. Unterrichtsinhalte sind auch das kleine Einmaleins, die Division mit Rest, das Lösen einfacher Gleichungen und der Dreisatz. Es werden Kopfrechnen, schriftliches Rechnen, Überschlagsrechnen und Anwendungen in Form von Textaufgaben eingeübt. Für vorteilhaftes Rechnen werden einfache Rechengesetze angewendet. In den ersten Jahren einer weiterführenden Schule (Sekundarstufe I) werden dann auch negative Zahlen betrachtet, die Bruchrechnung und damit die rationalen Zahlen eingeführt, sowie die Gesetze bei der Verbindung der vier Grundrechenarten behandelt.[3]

Illustration der Kommutativgesetze

Illustration des Assoziativgesetzes für die Addition

Im Folgenden sind ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ Zahlen aus dem zugrundeliegenden Zahlbereich. Für die Addition und die Multiplikation gelten die Kommutativgesetze

${\displaystyle a+b=b+a}$   und   ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$,

das heißt das Ergebnis einer Summe oder eines Produkts ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren. Weiter gelten die Assoziativgesetze

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$   und   ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.

Bei der Addition oder der Multiplikation mehrerer Zahlen ist es also unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilsummen oder Teilprodukte gebildet werden. Daher können bei Summen und Produkten die Klammern auch weggelassen werden. Zudem gelten die Distributivgesetze

${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$   und   ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$,

mit denen durch Ausmultiplizieren ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden kann und umgekehrt durch Ausklammern eine Summe in ein Produkt. Weiterhin verhält sich die Zahl ${\displaystyle 0}$ neutral bezüglich der Addition und die Zahl ${\displaystyle 1}$ neutral bezüglich der Multiplikation, das heißt

${\displaystyle a+0=0+a=a}$   und   ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}$.

Für die Subtraktion und die Division gelten diese Gesetze nicht oder nur eingeschränkt. Weitere Rechenregeln, wie Punkt vor Strich, die Klammerregeln und die Gesetze der Bruchrechnung, finden sich in der Formelsammlung Arithmetik.

Subtraktion als Addition

${\displaystyle 5-1=5+({-}1)}$

Division als Multiplikation

${\displaystyle 12:3=12\cdot {\tfrac {1}{3}}}$

In der Arithmetik betrachtet man Addition und Multiplikation als Grundoperationen. Dabei wird die Addition natürlicher Zahlen als wiederholte Ermittlung des Nachfolgers eines Summanden und die Multiplikation natürlicher Zahlen als wiederholte Addition eines Faktors mit sich selbst angesehen. Diese Sichtweise wird dann auf andere Zahlbereiche, wie ganze oder rationale Zahlen, übertragen.

Subtraktion und Division führt man als abgeleitete mathematische Operationen der Grundoperationen ein. Zur Subtraktion und Division gelangt man über die Frage nach der Lösung elementarer Gleichungen der Form

${\displaystyle a+x=b}$   bzw.   ${\displaystyle a\cdot x=b}$,

wobei ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gegebene Zahlen aus dem zugrundeliegenden Zahlbereich sind und die Zahl ${\displaystyle x}$ gesucht ist. Um diese Gleichungen zu lösen, wird eine Umkehroperation zur Addition benötigt, nämlich die Subtraktion, und ebenso eine Umkehroperation der Multiplikation, nämlich die Division:

${\displaystyle x=b-a}$   bzw.   ${\displaystyle x=b\,/\,a}$.

Die Subtraktion einer Zahl ${\displaystyle a}$ wird nun als Addition mit der Gegenzahl ${\displaystyle -a}$ definiert und die Division durch eine Zahl ${\displaystyle a}$ als Multiplikation mit dem Kehrwert ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$:

${\displaystyle x=b+(-a)}$   bzw.   ${\displaystyle x=b\cdot {\tfrac {1}{a}}}$.

Die Gegenzahl und der Kehrwert einer Zahl werden als die inversen Zahlen bezüglich der Addition und der Multiplikation bezeichnet. Auf diese Weise lassen sich die Rechenregeln für die Addition und Multiplikation auch auf die Subtraktion und Division übertragen.

In der Algebra werden diese zunächst für die Arithmetik geschaffenen Konzepte abstrahiert, um sie auf andere mathematische Objekte übertragen zu können. Eine algebraische Struktur besteht dann aus einer Trägermenge (hier einer Zahlenmenge), sowie ein oder mehreren Verknüpfungen auf dieser Menge (hier die arithmetischen Operationen), die nicht aus ihr herausführen. Die verschiedenen algebraischen Strukturen unterscheiden sich dann nur über die Eigenschaften der Verknüpfungen (die Rechenregeln), die als Axiome festgelegt werden, nicht jedoch bezüglich der konkreten Elemente der Trägermenge. Für die Grundoperationen erhält man die folgenden algebraischen Strukturen:

• Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Addition eine kommutative Halbgruppe ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$, in der für die Verknüpfung das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten.
• Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Halbgruppe ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}$.
• Die Menge der ganzen Zahlen bildet mit der Addition eine kommutative Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$, in der zusätzlich ein neutrales Element existiert und zu jedem Element ein inverses Element.
• Die Menge der ganzen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation einen kommutativen Ring ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$, in dem zusätzlich für die Verknüpfungen die Distributivgesetze gelten.
• Die Menge der rationalen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation einen Körper ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}$, in dem zusätzlich jedes Element außer der Null bezüglich der Multiplikation ein inverses Element besitzt.

Nach dem Permanenzprinzip gelten dabei alle Rechenregeln einer grundlegenden Struktur (hier eines einfachen Zahlbereichs mit den Grundoperationen) auch in einer entsprechend spezielleren Struktur (hier einem erweiterten Zahlbereich mit den gleichen Operationen). Diese Strukturierung und Axiomatisierung erlaubt es nun, gewonnene Erkenntnisse von Zahlen auf andere mathematische Objekte zu übertragen. Beispielsweise sind entsprechende Operationen bei Vektoren die Vektoraddition und bei Matrizen die Matrizenaddition. Spezielle Strukturen entstehen bei der Betrachtung endlicher Mengen, zum Beispiel Restklassenringe als mathematische Abstraktion einer Division mit Rest.

Alle vier Grundrechenarten waren bereits in der altägyptischen Mathematik und in der babylonischen Mathematik bekannt. Die Multiplikation und die Division waren jedoch keine eigenständigen arithmetischen Operationen. Die Multiplikation natürlicher Zahlen wurde auf das fortgesetzte Verdoppeln (Duplatio) eines Faktors und anschließende Addition der Teilergebnisse zurückgeführt. Die Division wurde bei nicht ganzzahligen Quotienten näherungsweise mittels fortgesetzter Halbierung (Mediatio) durchgeführt. Multiplikation und Division finden sich als eigenständige Operationen erst in der altgriechischen Mathematik, etwa bei Euklid und bei Pappos.[4]

Welche arithmetischen Operationen zu den Grundrechenarten gezählt werden, hat sich im Lauf der Zeit stark gewandelt. Bei Heron und Diophantos kamen zu den bekannten vier Rechenoperationen das Quadrieren und das Quadratwurzelziehen als weitere Grundrechenarten hinzu. In der indischen Mathematik wurden diese Operationen durch das allgemeinere Potenzieren und Wurzelziehen ersetzt und in neuerer Zeit um das Logarithmieren als siebte Grundrechenart ergänzt. In der islamischen Mathematik wurden beginnend mit Al-Chwarizmi auch die Duplatio und die Mediatio als eigene Rechenoperationen angesehen.[4]

In den Rechenbüchern des Mittelalters gab es weitere Ergänzungen der Grundrechenarten, die dort als „Spezies“ bezeichnet wurden. So finden sich um 1225 bei Johannes de Sacrobosco insgesamt neun dieser Spezies: Numeratio, Additio, Subtractio, Duplatio, Multiplicatio, Mediatio, Divisio, Progressio und Radicum extractio. Die Numeratio behandelte das Zählen, Lesen und Schreiben der Zahlen, als Progressio wurde die Summation aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen bezeichnet und die Extractio umfasste lediglich das Ziehen von Quadratwurzeln. Erst 1494 verwarf Luca Pacioli die Duplatio und die Mediatio als Spezialfälle der Multiplikation und der Division wieder. Daraufhin erfolgten weitere Reduktionen bis Gemma Frisius 1540 als einer der ersten Autoren die Grundrechenarten auf die bekannten vier beschränkte.[4]

• Walter Gellert (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0.

Wikibooks: ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}$ Mathematik für die Schule – Textaufgaben zu den Grundrechenarten

Wiktionary: Grundrechenart – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Einüben der vier Grundrechenarten (schriftlich) online
• Grundrechenarten für Schüler erklärt

1. Grundrechnungsart. In: Duden Online-Wörterbuch. Bibliographisches Institut.
2. Rechenart. In: PONS Online-Wörterbuch – Rechtschreibung und Fremdwörter. PONS.
3. I.V.S. Mullis, M.O. Martin, C.A. Minnich, G.M. Stanco, A. Arora, V.A.S. Centurino, C.E. Castle (Hrsg.): TIMSS 2011 Encyclopedia: Education Policy and Curriculum in Mathematics and Science. Volumes 1 and 2. TIMSS & PIRLS International Study Center, Boston College, 2012, ISBN 978-1-889938-59-2 (timssandpirls.bc.edu).
4. Johannes Tropfke: Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung. Erster Band. Veit, Leipzig 1902, S. 29–31.