Gravitationstunnel

In der Formel für die Kreisfrequenz der Federschwingung,

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {D}{m}}}\,\approx 0,00124\,\,{\frac {1}{\textrm {s}}}}$

identifiziert man ${\displaystyle \textstyle {D/m}}$ mit ${\displaystyle \textstyle {g/R}}$ und erhält für die Schwingungsperiode

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {R}{g}}}\approx 5000\,\,{\textrm {s.}}}$

Die Reisezeit beträgt eine halbe Schwingungsperiode, also etwa 42 Minuten.

Da es sich um eine harmonische Schwingung handelt, ist die Periode unabhängig von der Schwingungsamplitude. Also ist die Reisezeit durch Planeten gleicher Dichte ${\displaystyle \textstyle {\rho }}$ unabhängig vom Durchmesser ${\displaystyle \textstyle {(\omega }}$ skaliert mit ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {g}}}$ also mit ${\displaystyle \textstyle {{\sqrt {\rho }}).}}$

Zudem gilt diese Periode nicht nur für Schwingungen entlang des Erddurchmessers, sondern entlang beliebiger Sekanten, was man leicht sieht, wenn man ${\displaystyle \textstyle {r^{2}}}$ im Potential durch ${\displaystyle \textstyle {x^{2}+y^{2}}}$ ausdrückt: Für jeden Tunnel in ${\displaystyle \textstyle {x}}$-Richtung ist ${\displaystyle \textstyle {y}}$ konstant und ${\displaystyle \textstyle {y^{2}}}$ verschiebt nur den Nullpunkt des Potentials, ändert aber nicht dessen Form.

Schwingungen in ${\displaystyle \textstyle {x}}$- und ${\displaystyle \textstyle {y}}$-Richtung sind unabhängig voneinander und ergeben mit 90° Phasenverschiebung und gleicher Amplitude ${\displaystyle \textstyle {R}}$ eine Kreisbahn an der Erdoberfläche.

${\displaystyle v=R\omega \approx 7900\,{\textrm {m/s}}}$

ist nicht nur die Geschwindigkeit auf dieser Kreisbahn, die erste kosmische Geschwindigkeit, sondern auch die Maximalgeschwindigkeit beim freien Fall quer durch die Erde.[4] ^S. 96

Für eine Kurzstrecke sind schnellere Verbindungen möglich. Die Aufgabe, die Brachistochrone zu finden, also die Bahnkurve für die schnellste Verbindung zwischen zwei gegebenen Punkten an der Oberfläche, ist anspruchsvoller.[5] Die Lösung ist eine Hypozykloide, also die Bahn eines Punktes auf dem Umfang eines Rades, das innen an der Erdoberfläche abrollt. Der Umfang des Rades muss gleich der Bogenlänge zwischen den beiden Punkten sein. Start und Ende der Bewegung erfolgen senkrecht im freien Fall.

Für 4800 km (etwa London–Mekka) gibt Amanda Maxham für die Hypozykloide 27,4 Minuten Reisezeit an.[5] Allerdings erreicht diese Hypozykloide eine Tiefe von über 1500 km, während die Sekante bis auf 447 km absinkt. Zum Vergleich: Die Kola-Bohrung mit etwa zwölf Kilometern Tiefe ist seit 1979 die tiefste Bohrung der Welt.

Kleine Hypozykloiden verlaufen näherungsweise an einer nicht gekrümmten Oberfläche, und dass dies Brachistochronen für den Fall des homogenen Feldes darstellen, fand bereits Johann I Bernoulli im Jahre 1696.

Verlauf der Fallbeschleunigung nach dem PREM (blau) im Vergleich zur Näherung konstanter Dichte (dunkelgrün)

Die reale Massenverteilung der Erde beschreibt das PREM. Da der Erdkern eine weit höhere Dichte hat als der Mantel, ist die Näherung konstanter Dichte unrealistisch, siehe Abbildung. Die Näherung konstanter Fallbeschleunigung (nicht eingezeichnet) ist offensichtlich besser. Damit ergibt sich eine Reisezeit von

${\displaystyle T_{g=\mathrm {const} }=2{\sqrt {\frac {2R}{g}}}\approx 38{,}0\,\,\mathrm {Minuten.} }$

Alexander Klotz gibt für die Reisezeit basierend auf dem PREM 38,2 Minuten an, numerisch ermittelt.[6] Er merkt aber an, dass die originale Problemstellung mit konstanter Dichte lehrreicher sei.