Grahams Zahl

In einem n-dimensionalen Hyperwürfel (Einheitswürfel im n-dimensionalen Euklidischen Raum) seien alle ${\displaystyle 2^{n}}$ Ecken (Knoten) je paarweise durch eine Linie (Kante) verbunden, so dass ein vollständiger Graph auf ${\displaystyle 2^{n}}$ Knoten mit ${\displaystyle {\tbinom {2^{n}}{2}}=(2^{n-1})(2^{n}-1)}$ Kanten entsteht.

Diese Kanten werden nun mit jeweils einer von zwei Farben eingefärbt, das sind ${\displaystyle 2^{(2^{n-1})(2^{n}-1)}}$ verschiedene Kantenfärbungen. Die Frage ist dann, ob es für jede mögliche Kantenfärbung einen vollständigen Teilgraphen aus vier in einer Ebene des Euklidischen Raums liegenden Knoten gibt, dessen sechs Kanten alle die gleiche Farbe haben.

In niedrigen Dimensionen ist dies nicht der Fall. Bei ${\displaystyle n=2}$ besteht der Gesamtgraph nur aus einer Ebene mit vier Knoten. Färbt man dessen Kanten mit unterschiedlichen Farben, so besteht der einzige Teilgraph, nämlich der Gesamtgraph selbst, nicht aus sechs Kanten gleicher Farbe. Existiert andererseits eine Dimension ${\displaystyle n_{0}}$, in der für jede mögliche Kantenfärbung des Hyperwürfels ein einfarbiger ebener 4-Knoten-Teilgraph existiert, so gilt dies auch für jede höhere Dimension ${\displaystyle n>n_{0}}$, da der Hyperwürfel einer höheren Dimension einen Hyperwürfel der Dimension ${\displaystyle n_{0}}$ als Teilgraphen enthält, in dem es stets einen Teilgraphen mit sechs gleichfarbigen Kanten gibt.

Daraus ergibt sich die eigentliche Problemstellung: Wie groß ist das ${\displaystyle n_{0}}$, mit dem für alle ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ für jede mögliche Kantenfärbung ein solcher Teilgraph existiert, während es für alle ${\displaystyle n<n_{0}}$ eine Kantenfärbung gibt, mit der jeder ebene Teilgraph mit vier Knoten verschiedenfarbige Kanten hat?

Das Problem wurde noch nicht gelöst. Graham und Rothschild haben 1971 gezeigt, dass es einen solchen Wert ${\displaystyle n_{0}}$ gibt, und dass ${\displaystyle 6\leq n_{0}\leq g_{7}}$ ist. Die Zahl ${\displaystyle g_{7}}$ wird im nächsten Kapitel definiert. Der Mathematiker Geoffrey Exoo von der Indiana State University zeigte 2003, dass es noch in der Dimension ${\displaystyle n=10}$ eine Kantenfärbung gibt, die keinen ebenen Teilgraph mit sechs gleichfarbigen Kanten zulässt. 2008 konnte die Untergrenze auf ${\displaystyle n_{0}\geq 13}$ verbessert werden,[1] und 2014 die Obergrenze auf eine Zahl kleiner als ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 65536.}$[2]

Basierend auf unveröffentlichtem Material von Graham, aus dem sich ein Beweis der schwächeren (größeren) oberen Schranke ${\displaystyle n_{0}\leq G_{64}}$ ergibt, bezeichnete Martin Gardner die Zahl ${\displaystyle G_{64}}$ als „Grahams Zahl“.[3]

Grahams Zahl ${\displaystyle G_{64}}$, und auch die viel kleinere ${\displaystyle g_{7}}$, sind so extrem groß, dass nicht einmal Hilfsmittel wie der Hyperpotenz-Operator ausreichen, um diese Zahlen direkt anzugeben. Die Definition der Zahlen ist aber über eine Folge möglich, die zum Beispiel mit Knuths Pfeilschreibweise dargestellt werden kann. Für natürliche Zahlen ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ definiert man:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b&:=&a^{b}&=&\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a\cdot a} \\&&&&{b\;\mathrm {mal} }\\a\uparrow \uparrow b&:=&a\uparrow ^{2}b&:=&\underbrace {a\uparrow a\uparrow a\uparrow \ldots \uparrow a\uparrow a} \\&&&&{b\;\mathrm {mal} }\\a\uparrow \uparrow \uparrow b&:=&a\uparrow ^{3}b&:=&\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \ldots \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow a} \\&&&&{b\;\mathrm {mal} }\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a\underbrace {\uparrow \uparrow \ldots \uparrow } b&:=&a\uparrow ^{n}b&:=&\underbrace {a\uparrow ^{n-1}a\uparrow ^{n-1}a\uparrow ^{n-1}\ldots \uparrow ^{n-1}a} \\{n\;\mathrm {mal} }&&&&{b\;\mathrm {mal} }\\\end{matrix}}}$

In der ersten Zeile wird hierbei die übliche Potenz erklärt. Man beachte, dass der Pfeiloperator ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$ nicht assoziativ ist. Der klammerfrei notierte Ausdruck ${\displaystyle a\uparrow ^{n}a\uparrow ^{n}\ldots a\uparrow ^{n}a}$ ist – so die Konvention – von rechts nach links abzuarbeiten. Somit ist ${\displaystyle a\uparrow ^{n}a\uparrow ^{n}a=a\uparrow ^{n}(a\uparrow ^{n}a)}$. Diese Reihenfolge ist auch die, bei der die größten Endergebnisse hervorgebracht werden.

Außerdem definiert man ${\displaystyle a\uparrow ^{n}0:=1}$. Statt ${\displaystyle \uparrow }$ wird auch das Symbol ^ verwendet.

Mit dieser Notation kann man die Folgen ${\displaystyle (G_{k})}$ und ${\displaystyle (g_{k})}$ durch folgende Regeln rekursiv definieren:

${\displaystyle G_{0}\!\,=4}$

${\displaystyle {\begin{matrix}G_{k}&=&3\ \underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \uparrow } \ 3&\;=\;3\uparrow ^{G_{k-1}}3\\&&{G_{k-1}\;\mathrm {mal} }&\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0}\!\,=12}$

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{k}&=&2\ \underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \uparrow } \ 3&\;=\;2\uparrow ^{g_{k-1}}3\\&&{g_{k-1}\;\mathrm {mal} }&\end{matrix}}}$

${\displaystyle G_{64}}$ aus der ersten Folge ist Grahams Zahl, und ${\displaystyle g_{7}}$ aus der zweiten ist die beste bis 2014 bekannte obere Schranke für ${\displaystyle n_{0}}$.

Anders ausgedrückt:

${\displaystyle {\begin{matrix}G_{64}&=F^{64}(4)&\mathrm {mit} &F(n)=3\uparrow ^{n}3\\g_{7}&=f^{7}(12)&\mathrm {mit} &f(n)=2\uparrow ^{n}3\\\end{matrix}}}$

Zur besseren Veranschaulichung, wie extrem groß Grahams Zahl ist, werden die ersten Schritte zur Berechnung von ${\displaystyle G_{1}}$ gezeigt:

${\displaystyle 3\uparrow 3=3^{3}=27}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow (3\uparrow 3)=3^{3^{3}}=3^{27}=7.625.597.484.987}$

${\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=&3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)&=&3\uparrow \uparrow 7.625.597.484.987&=&\underbrace {3\uparrow (3\uparrow \ldots \uparrow (3\uparrow 3))} \\&&&&&&{7.625.597.484.987\;\mathrm {mal} }\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}G_{1}=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3&=&3\uparrow \uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow \uparrow 3)&=&\underbrace {3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow \ldots \uparrow \uparrow 3} \\&&&&{3\uparrow \uparrow \uparrow 3\;\mathrm {mal} }\end{matrix}}}$

Bereits ${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3}$ lässt sich nicht mehr vernünftig in der üblichen Exponentialdarstellung (${\displaystyle r\cdot 10^{z}}$) oder als Potenzturm ausdrücken. Dazu wäre bereits ein Potenzturm mit 7.625.597.484.986 Exponenten erforderlich.

Trotz ihrer unvorstellbaren Größe kann man die letzten Stellen von Grahams Zahl ${\displaystyle G_{64}}$ mit elementarer Zahlentheorie bestimmen. Die letzten 500 Stellen von Grahams Zahl lauten:

02425950695064738395657479136519351798334535362521
43003540126026771622672160419810652263169355188780
38814483140652526168785095552646051071172000997092
91249544378887496062882911725063001303622934916080
25459461494578871427832350829242102091825896753560
43086993801689249889268099510169055919951195027887
17830837018340236474548882222161573228010132974509
27344594504343300901096928025352751833289884461508
94042482650181938515625357963996189939679054966380
03222348723967018485186439059104575627262464195387

Man kann zeigen, dass in der verketteten Pfeilschreibweise Grahams Zahl zwischen ${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2}$ und ${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}$ liegt.

• Liste besonderer Zahlen
• Pfeilschreibweise

• Beitrag bei MathWorld
• Ronald Grahams Homepage
• Grahams Zahl auf Susan Stepneys Homepage
• A Ramsey Problem on Hypercubes von Geoff Exoo
• Artikel auf waitbutwhy.com, der versucht zu verdeutlichen, wie unvorstellbar groß Grahams Zahl ist

1. https://arxiv.org/abs/0811.1055
2. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0195669814000936
3. Martin Gardner: Mathematical Games in Scientific American, November 1977, S. 18–28. online (Memento vom 19. Oktober 2013 im Internet Archive)