Graduierung (Algebra)

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper. Eine ${\displaystyle \Gamma }$-Graduierung auf einem ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle V}$ ist ein System ${\displaystyle (V_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }}$ von Untervektorräumen, so dass ${\displaystyle V}$ die direkte Summe der ${\displaystyle V_{\gamma }}$ ist:

${\displaystyle V=\bigoplus _{\gamma \in \Gamma }V_{\gamma }}$

Die Vektorräume ${\displaystyle V_{\gamma }}$ heißen die graduierten Bestandteile von ${\displaystyle V}$.

Elemente ${\displaystyle v\in V_{\gamma }\setminus \left\{0\right\}}$ heißen homogen vom Grad ${\displaystyle \gamma }$ und man schreibt dafür kurz ${\displaystyle \operatorname {deg} v=\gamma }$ oder ${\displaystyle \partial v=\gamma }$. Jedes Element ${\displaystyle v}$ von ${\displaystyle V}$ kann genau auf eine Weise als Summe homogener Elemente verschiedenen Grades geschrieben werden; sie heißen die homogenen Bestandteile (oder Komponenten) von ${\displaystyle v}$.

Graduierte abelsche Gruppen und ${\displaystyle R}$-Moduln für (gewöhnliche, nicht graduierte) Ringe ${\displaystyle R}$ sind analog definiert.

Ist ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} }$, so spricht man häufig nicht explizit von einer ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Graduierung, sondern schlicht von einer Graduierung.

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper. Eine ${\displaystyle \Gamma }$-Graduierung auf einer ${\displaystyle K}$-Algebra ${\displaystyle A}$ ist eine ${\displaystyle \Gamma }$-Graduierung auf ${\displaystyle A}$ als ${\displaystyle K}$-Vektorraum, d. h. ${\displaystyle A=\bigoplus _{\gamma \in \Gamma }A_{\gamma }}$ für Untermoduln ${\displaystyle (A_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }}$, für die gilt

${\displaystyle A_{\gamma }\cdot A_{\delta }\subseteq A_{\gamma +\delta }}$

für ${\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }$, d. h.

${\displaystyle a_{\gamma }a_{\delta }\in A_{\gamma +\delta }}$ für ${\displaystyle a_{\gamma }\in A_{\gamma },a_{\delta }\in A_{\delta }}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Ring. Eine ${\displaystyle \Gamma }$-Graduierung auf ${\displaystyle R}$ ist eine Familie ${\displaystyle (R_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }}$, so dass

${\displaystyle R=\bigoplus _{\gamma \in \Gamma }R_{\gamma }}$,

und

${\displaystyle R_{\gamma }\cdot R_{\delta }\subseteq R_{\gamma +\delta }}$ für alle ${\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }$.[1]

Dies verallgemeinert obige Definition für Algebren. Man beachte, dass für Algebren verlangt wird, dass die direkten Summanden der homogenen Elemente ${\displaystyle K}$-Untervektorräume sind, das heißt, dass eine Ring-Graduierung einer ${\displaystyle K}$-Algebra möglicherweise keine Algebren-Graduierung, wie sie oben definiert wurde, ist.

Es sei ${\displaystyle R}$ ein ${\displaystyle \Gamma }$-graduierter Ring. Ein ${\displaystyle \Gamma }$-graduierter ${\displaystyle R}$-Modul ${\displaystyle M}$ ist ein ${\displaystyle R}$-Modul

${\displaystyle M=\bigoplus _{\gamma \in \Gamma }M_{\gamma }}$,

so dass

${\displaystyle R_{\gamma }\cdot M_{\delta }\subseteq M_{\gamma +\delta }}$

für ${\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }$ gilt.

Diese Definition bezieht sich auf den Fall von Linksmoduln, graduierte Rechtsmoduln sind analog definiert. Bei einer entsprechenden Definition für ${\displaystyle K}$-Algebren verlangt man noch, dass die ${\displaystyle M_{\gamma }}$ in obiger Definition ${\displaystyle K}$-Vektorräume sind.

• Der Polynomring ${\displaystyle A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten über einem Körper ${\displaystyle K}$ ist durch den Gesamtgrad graduiert:

${\displaystyle A=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }A_{d},\quad A_{d}=\langle X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}\mid e_{1}+\ldots +e_{n}=d\rangle _{K}.}$

(Offenbar ist ${\displaystyle A_{d}=0}$ für ${\displaystyle d<0}$.)

Es gibt aber noch andere Graduierungen auf ${\displaystyle A}$: Es seien ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ positive ganze Zahlen. Dann ist durch

${\displaystyle A=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }{\tilde {A}}_{d},\quad {\tilde {A}}_{d}=\langle X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}\mid \lambda _{1}e_{1}+\ldots +\lambda _{n}e_{n}=d\rangle _{K}}$

ebenfalls eine Graduierung von ${\displaystyle A}$ definiert, bei der jedoch das Monom ${\displaystyle X_{i}}$ Grad ${\displaystyle \lambda _{i}}$ hat.

• Tensoralgebra, symmetrische Algebra und äußere Algebra sind graduierte Algebren.
• Ist ${\displaystyle A}$ ein (kommutativer) noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ und Restklassenkörper ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$, so ist

${\displaystyle \operatorname {gr} A=\bigoplus _{n\geq 0}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}}$

eine endlich erzeugte graduierte ${\displaystyle k}$-Algebra.

Ist beispielsweise ${\displaystyle A=\mathbb {Z} _{p}}$ für eine Primzahl ${\displaystyle p}$, so ist ${\displaystyle \operatorname {gr} A\cong \mathbb {F} _{p}[T]}$.

Eine ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-Graduierung eines Ringes oder einer Algebra ${\displaystyle A}$ ist eine Zerlegung ${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$ mit ${\displaystyle A_{i}A_{j}\subset A_{i+j}}$. Dann ist ${\displaystyle \alpha :A\rightarrow A,\alpha (a_{0}+a_{1}):=a_{0}-a_{1}}$ ein Automorphismus auf ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle \alpha ^{2}=\mathrm {id} _{A}}$. Umgekehrt definiert jeder solche Automorphismus eine Graduierung

${\displaystyle A_{0}:=\{a\in A;\alpha (a)=a\}}$

${\displaystyle A_{1}:=\{a\in A;\alpha (a)=-a\}}$.

Eine ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-Graduierung ist also nichts weiter als die Auszeichnung eines selbstinversen Automorphismus. Speziell für C*-Algebren ist eine ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-Graduierung ein C*-dynamisches System mit Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$. Unter einer graduierten C*-Algebra versteht man in der Regel eine ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-graduierte C*-Algebra.

Viele mathematische Konstruktionen werden bei graduierten Objekten so angepasst, dass die vorliegende Graduierung respektiert wird. So definiert man etwa einen graduierten Kommutator für homogene Elemente durch

${\displaystyle [x,y]:=xy-(-1)^{\partial x\cdot \partial y}yx}$

und für allgemeine Elemente durch lineare Fortsetzung. Man erhält dann zum Beispiel eine graduierte Jacobi-Identität[2]

${\displaystyle (-1)^{\partial x\cdot \partial z}[[x,y],z]+(-1)^{\partial x\cdot \partial y}[[y,z],x]+(-1)^{\partial y\cdot \partial z}[[y,z],x]=0}$

für homogene Elemente ${\displaystyle x,y,z\in A}$

Auch die Bildung des Tensorproduktes wird entsprechend angepasst. Die Multiplikation im graduierten Tensorprodukt ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-graduierter Ringe ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ wird dann für Elementartensoren homogener Elemente durch

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2}):=(-1)^{\partial b_{1}\cdot \partial a_{2}}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2})}$

festgelegt. Sätze wie ${\displaystyle A\otimes B\cong B\otimes A}$ lassen sich auch für die graduierten Tensorprodukte beweisen. Gibt es zusätzlich eine Involution auf den Ringen bzw. Algebren, wie zum Beispiel im Falle von C*-Algebren, so wird eine Involution auf dem graduierten Tensorprodukt durch

${\displaystyle (a\otimes b)^{*}:=(-1)^{\partial a\cdot \partial b}(a^{*}\otimes b^{*})}$, ${\displaystyle a,b}$ homogen,

definiert. Durch Übergang zur einhüllenden C*-Algebra erhält man so ein Tensorprodukt graduierter C*-Algebren.[3]

• Serge Lang: Algebra. Revised 3rd Edition, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-95385-X

1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Definition 5.3 für ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} }$
2. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 14.1.3
3. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 14.4.1