Graßmann-Schema

Der Graßmann-Funktor

${\displaystyle {\mathcal {G}}(d,n)\colon \left\{{\mathcal {Rings}}\right\}\to \left\{{\mathcal {Sets}}\right\}}$

bildet einen Ring ${\displaystyle R}$ auf die Menge der direkten Summanden vom Rang ${\displaystyle d}$ des ${\displaystyle R^{n}}$ ab.

Das Graßmann-Schema ${\displaystyle G(d,n)}$ ist ein diesen Funktor darstellendes Schema. Es soll also gelten

${\displaystyle {\mathcal {G}}(d,n)(R)=Mor(Spec(R),G(d,n))}$

für jeden Ring ${\displaystyle R}$.

Aus dem Lemma von Yoneda folgt, dass ${\displaystyle G(d,n)}$ eindeutig bestimmt ist. Die unten angegebene Konstruktion zeigt, dass es tatsächlich existiert.

Das Graßmann-Schema wird wie folgt konstruiert:

${\displaystyle G(d,n)=Proj(\mathbb {Z} \left[x_{I}\right]/I_{d,n})}$,

wobei die Indexmenge ${\displaystyle I}$ der Variablen die ${\displaystyle \left({\begin{array}{c}n\\d\end{array}}\right)}$ verschiedenen ${\displaystyle d}$-elementigen Teilmengen von ${\displaystyle \left\{1,\ldots ,n\right\}}$ durchläuft und ${\displaystyle I_{d,n}}$ das von den Graßmann-Plücker-Relationen erzeugte Ideal ist.

Für ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ (oder allgemeiner ${\displaystyle k}$ einen Körper) ist ${\displaystyle G(d,n)(k)}$ die Menge der abgeschlossenen Punkte der klassischen Graßmann-Varietät.

• Eisenbud-Harris: The Geometry of Schemes. Lecture Notes in Mathematics 197, Springer-Verlag New York. online