Extremwert

Es sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ eine Teilmenge der reellen Zahlen (z. B. ein Intervall) und ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ eine Funktion.

${\displaystyle f}$ hat an der Stelle ${\displaystyle x_{0}\in U}$

• ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall ${\displaystyle I=(a,b)}$ gibt, das ${\displaystyle x_{0}}$ enthält, so dass ${\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in I\cap U}$ gilt;
• ein globales Minimum, wenn ${\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in U}$ gilt;
• ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall ${\displaystyle I=(a,b)}$ gibt, das ${\displaystyle x_{0}}$ enthält, so dass ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in I\cap U}$ gilt;
• ein globales Maximum, wenn ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in U}$ gilt.

Besitzt die Funktion an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ ein Maximum, so nennt man den Punkt ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ Hochpunkt, hat sie dort ein Minimum, so heißt der Punkt Tiefpunkt. Liegt ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vor, so spricht man von einem Extrempunkt.

Sind ${\displaystyle a\leq b}$ reelle Zahlen und ist ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion, so nimmt ${\displaystyle f}$ ein globales Maximum und ein globales Minimum an. Diese können auch in den Randstellen ${\displaystyle a}$ oder ${\displaystyle b}$ angenommen werden.

Diese Aussage folgt aus dem Satz von Heine-Borel, wird aber oft auch nach K. Weierstraß oder B. Bolzano benannt oder als Satz vom Maximum und Minimum bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ offen, und ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ eine differenzierbare Funktion.

Hat ${\displaystyle f}$ an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ein lokales Extremum und ist dort differenzierbar, so ist dort die erste Ableitung gleich null:

${\displaystyle f'(x_{0})=0\,}$.

• Ist ${\displaystyle f}$ zweimal differenzierbar, und gilt neben ${\displaystyle f'(x_{0})=0\,}$ auch ${\displaystyle f''(x_{0})\neq 0\,}$, so hat ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ ein lokales Extremum. Ist ${\displaystyle f'(x_{0})=0\,}$ und ${\displaystyle f''(x_{0})>0\,}$, handelt es sich dabei um ein lokales Minimum, für ${\displaystyle f''(x_{0})<0\,}$ dagegen um ein lokales Maximum.

• Allgemeiner dagegen und mittels Entwicklung von ${\displaystyle f}$ gemäß der Taylor-Formel[1] herleitbar gilt: Ist ${\displaystyle f}$ n-mal ableitbar und dabei

${\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\ldots =f^{(n-1)}(x_{0})=0\,\wedge f^{(n)}(x_{0})\neq 0,}$

so folgt daraus:

(1) Ist ${\displaystyle n}$ gerade sowie ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}$ (bzw. ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0}$), so hat ${\displaystyle f}$ bei ${\displaystyle x_{0}}$ ein relatives Maximum (bzw. Minimum).

(2) Ist ${\displaystyle n}$ hingegen ungerade, so hat ${\displaystyle f}$ bei ${\displaystyle x_{0}}$ kein lokales Extremum (des Funktionswerts, sondern eines des Anstiegs, also einen Wendepunkt).

Oder ganz allgemein formuliert: Ist die erste von Null verschiedene Ableitung ${\displaystyle f^{(n)}}$ der Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$, an der ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ ist, eine Ableitung gerader Ordnung, so besitzt ${\displaystyle f}$ an dieser Stelle einen Extrempunkt, wobei eine von Null verschiedene Ableitung ${\displaystyle f^{(n)}>0}$ für ein Minimum, eine Ableitung ${\displaystyle f^{(n)}<0}$ dagegen für ein Maximum steht. (Man vergleiche hierzu Funktionen der Form ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.)

• Hat die erste Ableitung bei ${\displaystyle x_{0}}$ einen Vorzeichenwechsel, so liegt ein Extremum vor. Bei einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus handelt es sich um ein Maximum, bei einem Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus um ein Minimum.

• Für stetige Funktionen auf Intervallen gilt: Zwischen zwei lokalen Minima einer Funktion liegt stets ein lokales Maximum, und zwischen zwei lokalen Maxima liegt stets ein lokales Minimum.

• Für differenzierbare Funktionen auf Intervallen gilt: Gibt es zwei Stellen ${\displaystyle a,b}$ mit ${\displaystyle a<x_{0}<b}$, so dass die erste Ableitung im Intervall ${\displaystyle (a,b)}$ nur die Nullstelle ${\displaystyle x_{0}}$ hat, und sind ${\displaystyle f(a)>f(x_{0})}$ sowie ${\displaystyle f(b)>f(x_{0})}$, so hat ${\displaystyle f}$ bei ${\displaystyle x_{0}}$ ein lokales Minimum. Gilt die analoge Bedingung mit ${\displaystyle f(a)<f(x_{0})}$ und ${\displaystyle f(b)<f(x_{0})}$, so hat ${\displaystyle f}$ bei ${\displaystyle x_{0}}$ ein lokales Maximum.

Es gibt allerdings auch Funktionen, bei denen keines der o. gen. Kriterien weiterhilft (s. u.).

• ${\displaystyle f(x)=x^{2}+3.}$ Die erste Ableitung ${\displaystyle f'(x)=2x}$ hat nur bei ${\displaystyle x_{0}=0}$ eine Nullstelle. Die zweite Ableitung ${\displaystyle f''(x)=2}$ ist dort positiv, also nimmt ${\displaystyle f}$ bei 0 ein lokales Minimum an, nämlich ${\displaystyle f(0)=3}$.

• ${\displaystyle f(x)=x^{4}+3.}$ Die erste Ableitung ${\displaystyle f'(x)=4x^{3}}$ hat nur bei ${\displaystyle x_{0}=0}$ eine Nullstelle. Die zweite Ableitung ${\displaystyle f''(x)=12x^{2}}$ ist dort ebenfalls 0. Man kann nun auf verschiedene Arten fortfahren:
  • Auch die dritte Ableitung ${\displaystyle f'''(x)=24x}$ ist dort 0. Die vierte Ableitung hingegen ist mit ${\displaystyle f^{(4)}(x)=24}$ die erste höhere Ableitung, die nicht 0 ist. Da diese Ableitung einen positiven Wert hat und gerade ist, gilt nach (1), dass die Funktion dort ein lokales Minimum besitzt.
  • Die erste Ableitung hat bei 0 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus, also hat ${\displaystyle f}$ bei ${\displaystyle x_{0}=0}$ ein lokales Minimum.
  • Es ist ${\displaystyle f(-1)=f(1)=4>3=f(0)}$, also hat ${\displaystyle f}$ im Intervall ${\displaystyle (-1,1)}$ ein lokales Minimum. Da die erste Ableitung in diesem Intervall nur die Nullstelle ${\displaystyle x_{0}=0}$ hat, muss das lokale Minimum dort angenommen werden.

• Die Funktion, die durch ${\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{-1/x^{2}}\sin ^{2}{\frac {1}{x^{2}}}}$ für ${\displaystyle x\neq 0}$ und durch ${\displaystyle f(0)=0}$ definiert ist, hat die folgenden Eigenschaften:
  • Sie hat bei ${\displaystyle x=0}$ ein globales Minimum.
  • Sie ist beliebig oft differenzierbar.
  • Alle Ableitungen bei ${\displaystyle x=0}$ sind gleich 0.
  • Die erste Ableitung hat keinen Vorzeichenwechsel bei 0.
  • Auch die anderen beiden oben genannten Kriterien sind nicht anwendbar.

In der Praxis können Extremwert-Berechnungen zur Berechnung von größt- oder kleinstmöglichen Vorgaben verwendet werden, wie das folgende Beispiel zeigt (siehe auch Optimierungsproblem):

• Wie muss eine rechteckige Fläche aussehen, die bei einem bestimmten Umfang eine maximale Fläche hat?

Lösungsweg:

Der Umfang ${\displaystyle U}$ ist konstant, die Fläche ${\displaystyle A}$ soll maximiert werden, ${\displaystyle a}$ ist die Länge und ${\displaystyle b}$ die Breite:

${\displaystyle 1)\qquad U=2(a+b)\Rightarrow b={\frac {U}{2}}-a}$

${\displaystyle 2)\qquad A=a\cdot b}$

1) in 2) einsetzen und umformen

${\displaystyle A(a)=-a^{2}+{\frac {1}{2}}Ua}$

Ableitungsfunktionen bilden

${\displaystyle A'(a)=-2a+{\frac {1}{2}}U}$

${\displaystyle A''(a)=-2\qquad \Rightarrow }$ Hochpunkt der Funktion

Es gibt nur ein lokales Maximum, das in dem vorliegenden Beispiel (ohne Nachweis) zugleich auch das globale Maximum ist, da die zweite Ableitung unabhängig von der Variablen immer kleiner als Null ist.

Um einen Extremwert zu finden, muss die erste Ableitung gleich Null gesetzt werden (da diese die Steigung der ursprünglichen Funktion beschreibt und diese Steigung bei Extremwerten Null ist. Ist die zweite Ableitung der Funktion ungleich Null, so liegt ein Minimum oder Maximum vor).

${\displaystyle A'(a)=-2a+{\frac {1}{2}}U=0\Rightarrow }$

${\displaystyle a={\frac {1}{4}}U\ \Rightarrow \ U=4a}$

Einsetzen in 1)

${\displaystyle 4a=2(a+b)\ \Rightarrow \ a=b}$

Es folgt daraus, dass der größtmögliche Flächeninhalt eines Rechtecks bei vorgegebenen Umfang dann zu erzielen ist, wenn beide Seitenlängen gleich sind (was einem Quadrat entspricht). Umgekehrt lässt sich aber auch sagen, dass ein Rechteck mit vorgegebenem Flächeninhalt den geringsten Umfang aufweist, wenn sich

${\displaystyle a:b=1:1}$

verhalten – also bei einem Quadrat.

Der Begriff des Maximums und des Minimums überträgt sich direkt auf den unendlichdimensionalen Fall. Seien ${\displaystyle X}$ ein Vektorraum und ${\displaystyle D\subset X}$ eine Teilmenge dieses Vektorraumes sowie ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ ein Funktional. Dann hat ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle {\tilde {x}}\in D}$

• ein (globales) Minimum, wenn ${\displaystyle f({\tilde {x}})\leq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$
• ein (globales) Maximum, wenn ${\displaystyle f({\tilde {x}})\geq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$

Der Zusatz „globales“ wird meist weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was gemeint ist. Ist ${\displaystyle X}$ zusätzlich mit einer Topologie versehen, also ein topologischer Raum, dann hat ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle {\tilde {x}}\in D}$

• ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ gibt, so dass ${\displaystyle f({\tilde {x}})\leq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in U\cap D}$ gilt.
• ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ gibt, so dass ${\displaystyle f({\tilde {x}})\geq f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in U\cap D}$ gilt.

Ein Punkt heißt ein (lokales) Extremum, wenn er ein (lokales) Minimum oder ein (lokales) Maximum ist. Jedes globale Minimum (Maximum) ist ein lokales Minimum (Maximum).

Entsprechend den Existenzaussagen für reelle Funktionen gibt es auch Aussagen für die Existenz von Extremalstellen von Funktionalen. Ist ${\displaystyle X}$ ein normierter Raum, so gilt:

• Ein schwach unterhalbstetiges Funktional auf einer schwach folgenkompakten Menge nimmt dort ihr Minimum an.

Da diese Version für die Anwendung und Überprüfung oft unpraktisch ist, schwächt man dies ab zu der Aussage, dass jedes stetige quasikonvexe Funktional auf einer beschränkten, konvexen und abgeschlossenen Teilmenge eines reflexiven Banachraums ein Minimum annimmt. Diese Aussage gilt auch für alle konvexen Funktionale, da diese immer quasikonvex sind. Im Endlichdimensionalen kann auf die Konvexität der Teilmenge verzichtet werden.

Unter gewissen Umständen sind die Optimalpunkte sogar eindeutig bestimmt. Dazu gehört zum Beispiel die strikte Konvexität.

Schränkt man sich auf gewisse Klassen von Funktionalen ein, so kann man Aussagen über die Geometrie der Menge der Extremalpunkte treffen.

• Ist das Funktional quasikonvex auf einer konvexen Menge, so ist die Menge der Minima konvex.
• Ist das Funktional quasikonkav auf einer konvexen Menge, so ist die Menge der Maxima konvex.
• Ist das Funktional konvex auf einer konvexen Menge, so ist jedes lokale Minimum ein globales Minimum.
• Ist das Funktional konkav auf einer konvexen Menge, so ist jedes lokale Maximum ein globales Maximum.

Bei diskreten Optimierungsproblemen ist der oben definierte Begriff des lokalen Extremums nicht geeignet, da in jedem Punkt ein lokales Extremum in diesem Sinne vorliegt. Für Extrema einer Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ wird daher ein anderer Umgebungsbegriff verwendet: Man benutzt eine Nachbarschaftsfunktion ${\displaystyle N}$, die jedem Punkt die Menge seiner Nachbarn zuordnet,

${\displaystyle N\colon D\to {\mathcal {P}}(D);}$

dabei steht ${\displaystyle {\mathcal {P}}(D)}$ für die Potenzmenge von ${\displaystyle D}$.

${\displaystyle f}$ hat dann ein lokales Maximum in einem Punkt ${\displaystyle x_{0}\in D}$, wenn ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}$ für alle Nachbarn ${\displaystyle x\in N(x_{0})}$ gilt. Lokale Minima sind analog definiert.

Extremwerte von Funktionen, deren Argumente selbst Funktionen sind, z. B. die Kontur eines Regentropfens mit minimalem Luftwiderstand, sind Gegenstand der Variationsrechnung.