Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung, die von besonderem Interesse in der multivariaten Statistik ist. Dort hat man häufig mit Integralen über der orthogonalen Gruppe oder der Stiefel-Mannigfaltigkeit bezüglich eines invarianten Maßes zu tun. Zum Beispiel erscheint die Verteilung bei der Untersuchung der Funktionaldeterminante bei Transformationen mit orthogonalen respektive semiorthogonalen Matrizen. Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist das normalisierte Haar-Maß auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit.

Eine Zufallsmatrix, welche gleichverteilt über der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist, ist invariant unter der zweiseitigen Wirkung des Produktes der orthogonalen Gruppen , das heißt für .

Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Einführung

Sei die Stiefel-Mannigfaltigkeit, das heißt der Raum aller orthonormalen -Rahmen in für . Wir können diese Mannigfaltigkeit auch als den Matrizenraum

darstellen. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zum Quotientenraum der orthogonalen Gruppen

wir können beide miteinander identifizieren und im Fall erhalten wir gerade die orthogonale Gruppe. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit übernimmt die linke Gruppenwirkung

ist eine kompakte abgeschlossene Lie-Untergruppe von . Nach dem Satz von Haar existiert ein Haar-Maß auf , welches wiederum ein invariantes Maß auf dem Quotientenraum induziert.

Herleitung des Haar-Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Sei , dann differenzieren wir und erhalten

Seien die Spalten von . Das äußere Produkt der superdiagonalen Elemente liefert eine Differentialform

welche den Grad hat und somit maximal ist. Diese Differentialform ist invariant unter der linken und der rechten Gruppenwirkung der orthogonalen Gruppe. Integration der Differentialform liefert das entsprechende Haar-Maß der orthogonalen Gruppe.

Sei nun ein Element der Stiefel-Mannigfaltigkeit und von der Form . Dann wählen wir eine Matrix , so dass . Die induzierte Differentialform des invarianten Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist vom maximalen Grad und gegeben durch

Die Differentialform hängt nicht von einer spezifischen Form von ab und ist wieder invariant unter linker und rechter Gruppenwirkung.[1]

Integration des Haar-Maßes

Man kann nun zeigen, dass für das Integral des invarianten Maßes über der Stiefel-Mannigfaltigkeit folgende Rekursion

gilt. Die Notation steht hier einfach für das invariante Maß auf .

Aus der Rekursion folgt

wobei die multivariate Gammafunktion ist.[2]

Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung ist das eindeutige Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß

wobei

ist und die Normalisierungskonstante

.[2]

Literatur

  • Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5.
  • Yasuko Chikuse: Statistics on Special Manifolds. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Statistics. Band 174). New York 2003, doi:10.1007/978-0-387-21540-2.
  • Yasuko Chikuse: Distributions of orientations on Stiefel manifolds. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 33, Nr. 2, 1990, S. 247264, doi:10.1016/0047-259X(90)90049-N.
  • Alan Treleven James: Normal Multivariate Analysis and the Orthogonal Group. In: Ann. Math. Statist. Band 25, Nr. 1, 1954, S. 40 - 75, doi:10.1214/aoms/1177728846.
  • K.V. Mardia und C.G. Khatri: Uniform distribution on a Stiefel manifold. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 7, Nr. 3, 1977, S. 468473, doi:10.1016/0047-259X(77)90087-2.

Einzelnachweise

  1. Yasuko Chikuse: Statistics on Special Manifolds. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Statistics. Band 174). New York 2003, S. 1416, doi:10.1007/978-0-387-21540-2.
  2. Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 279280.
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