Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Ablesen der Beschleunigung a bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung im Steigungsdreieck.

Sofern die gleichmäßig beschleunigte Bewegung geradlinig ist, kann man für Berechnungen Zahlen (Skalare) statt Vektoren verwenden (Skalarform). Es genügt, die Orientierung des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors durch das Vorzeichen auszudrücken. Eine Richtung (meist die Bewegungsrichtung) wird als positiv ausgezeichnet, die Gegenrichtung als negativ.

Verläuft die gleichmäßig beschleunigte Bewegung nicht geradlinig, so ist die allgemeinere Vektorform zu verwenden. Es gelten folgende Gesetze:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
		Skalarform		Vektorform
notwendige Bedingung		${\displaystyle a={\text{const.}}}$		${\displaystyle {\vec {a}}={\text{const.}}}$
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz		${\displaystyle v(t)={\dot {s}}(t)=at+v_{0}}$		${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\dot {\vec {s}}}(t)={\vec {a}}t+{\vec {v}}_{0}}$
Weg-Zeit-Gesetz		${\displaystyle s(t)={\frac {a}{2}}t^{2}+v_{0}t+s_{0}}$		${\displaystyle {\vec {s}}(t)={\frac {\vec {a}}{2}}t^{2}+{\vec {v}}_{0}t+{\vec {s}}_{0}}$
verwendete Formelzeichen
${\displaystyle a,{\vec {a}}}$	Beschleunigung		${\displaystyle \left[{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}\right]}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}&={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {v}}}(t)\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {s}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {\vec {s}}}(t)\end{aligned}}}$
${\displaystyle s(t),{\vec {s}}(t)}$	Position zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$		${\displaystyle \left[{\text{m}}\right]}$
${\displaystyle s_{0},{\vec {s}}_{0}}$	Anfangsposition (Anfangsweg) zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$		${\displaystyle \left[{\text{m}}\right]}$	${\displaystyle {\vec {s}}_{0}={\vec {s}}(t=0)}$
${\displaystyle t}$	Zeit		${\displaystyle \left[{\text{s}}\right]}$
${\displaystyle v(t),{\vec {v}}(t)}$	Geschwindigkeit zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$		${\displaystyle \left[{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\right]}$	${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {s}}}(t)}$
${\displaystyle v_{0},{\vec {v}}_{0}}$	Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$		${\displaystyle \left[{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\right]}$	${\displaystyle {\vec {v}}_{0}={\vec {v}}(t=0)}$

Aus ${\displaystyle {\dot {\vec {v}}}={\vec {a}}}$

erhält man bei konstanter Beschleunigung durch Integration eine linear von der Zeit abhängige Geschwindigkeit:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {a}}t+{\vec {v}}_{0}}$,

wobei ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ die Integrationskonstante ist, welche die Anfangsgeschwindigkeit beinhaltet.

Die Geschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung der Position nach der Zeit:

${\displaystyle {\dot {\vec {s}}}={\vec {v}}={\vec {a}}t+{\vec {v}}_{0}.}$

Durch anschließende Integration erhält man das Weg-Zeit-Gesetz:

${\displaystyle {\vec {s}}(t)={\frac {\vec {a}}{2}}t^{2}+{\vec {v}}_{0}t+{\vec {s}}_{0}{\text{,}}}$

wobei ${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ die Anfangsposition ist.

Die Gleichungen für die Geschwindigkeit sowie die Position lauten somit:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {v}}(t)={\vec {a}}t+{\vec {v}}_{0}\\&{\vec {s}}(t)={\frac {\vec {a}}{2}}t^{2}+{\vec {v}}_{0}t+{\vec {s}}_{0}\end{aligned}}}$

1. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.