Gleichmäßig glatter Raum

Ein normierter Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt glatt, wenn die Norm auf der Einheitssphäre ${\displaystyle S_{X}:=\{x\in X|\,\|x\|=1\}}$ Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt, wenn für jedes ${\displaystyle x\in S_{X}}$ und alle ${\displaystyle y\in X}$ der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{t\searrow 0}{\frac {\|x+ty\|-1}{t}}}$

existiert. Das ist genau dann der Fall, wenn für jedes ${\displaystyle x\in S_{X}}$ und ${\displaystyle y\in X}$

${\displaystyle \lim _{t\searrow 0}{\frac {{\frac {1}{2}}(\|x+ty\|+\|x-ty\|)-1}{t}}=0}$

gilt.[1] Es ist nun naheliegend, Gleichmäßigkeitsbedingungen an die Existenz dieses Grenzwertes zu stellen. Man definiert daher den sogenannten Glattheitsmodul von ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \rho _{X}:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty ),\quad \rho _{X}(t):=\sup\{{\tfrac {1}{2}}(\|x+ty\|+\|x-ty\|)-1|\,x,y\in S_{X}\}}$

und nennt den Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ gleichmäßig glatt, falls

${\displaystyle \lim _{t\searrow 0}{\frac {\rho _{X}(t)}{t}}=0}$

gilt.[2] Das bedeutet also, dass der Ausdruck

${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}(\|x+ty\|+\|x-ty\|)-1}{t}}}$

nicht nur für alle ${\displaystyle (x,y)\in S_{X}\times S_{X}}$ gegen ${\displaystyle 0}$ konvergiert, wenn ${\displaystyle t\searrow 0}$, sondern sogar gleichmäßig auf ${\displaystyle S_{X}\times S_{X}}$.

• Innenprodukträume sind gleichmäßig glatt, denn mittels der Parallelogrammgleichung zeigt man leicht

${\displaystyle \rho _{X}(t)={\sqrt {1+t^{2}}}-1}$,

woraus die gleichmäßige Glattheit folgt.[3]

• Die L^p-Räume ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ für Maßräume ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ mit positivem Maß sind gleichmäßig glatt, falls ${\displaystyle 1<p<\infty }$.
• Die Folgenräume ${\displaystyle \ell ^{p}}$ für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ sind gleichmäßig glatt. Das ist ein Spezialfall des vorangegangenen Beispiels. Die Räume ${\displaystyle \ell ^{1}}$ und ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ sind nicht gleichmäßig glatt, sie sind noch nicht einmal glatt.[4]
• Es gibt eine Norm auf dem Folgenraum ${\displaystyle c_{0}}$ der Nullfolgen, bezüglich der dieser Raum glatt aber nicht gleichmäßig glatt ist.[5]

• Gleichmäßig glatte Räume sind glatt, denn obige Definition verschärft eine äquivalente Charakterisierung der Glattheit. Für endlichdimensionale Räume gilt auch die Umkehrung, für unendlichdimensionale Räume im Allgemeinen nicht.
• Gleichmäßig glatte Banachräume sind genau die Dualräume von gleichmäßig konvexen Banachräumen.[6] Insbesondere sind gleichmäßig glatte Räume reflexiv, denn gleichmäßig konvexe Räume sind nach dem Satz von Milman reflexiv.
• Unterräume und Quotienräume nach abgeschlossenen Unterräumen gleichmäßig glatter Räume sind wieder gleichmäßig glatt.[7]
• Für glatte Räume ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ hat man die Stützabbildung ${\displaystyle f:X\setminus \{0\}\rightarrow X^{*}\setminus \{0\},x\mapsto f_{x}}$, die jedes ${\displaystyle x\not =0}$ auf das eindeutig bestimmte Stützfunktional ${\displaystyle f_{x}}$ abbildet. Diese Stützabbildung ist norm-schwach-*-stetig. Ein glatter Raum ist genau dann gleichmäßig glatt, wenn die Stützabbildung norm-norm-stetig ist.[8]

1. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.5.1
2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 5.5.2
3. Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kap. 3, §4, Beweis zu Korollar 1 zu Theorem 1'
4. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 5.5.16
5. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Beispiel 5.5.15
6. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 5.5.12
7. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Sätze 5.5.20, 5.5.22
8. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Sätze 5.5.20, 5.5.210