Ginsburg-Landau-Theorie

Aufbauend auf Landaus Theorie der Phasenübergänge zweiter Ordnung argumentierten Landau und Ginsburg, dass die freie Energie ${\displaystyle F}$ eines Supraleiters nahe dem Phasenübergang durch einen komplexen Ordnungsparameter ${\displaystyle \psi }$ ausgedrückt werden kann. Dieser beschreibt, inwieweit sich das System im supraleitenden Zustand befindet; ${\displaystyle \psi =0}$ entspricht dem Normalzustand ohne Supraleitung.

Die freie Energie lautet dann:

${\displaystyle F=F_{n}+\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left(-\mathrm {i} \hbar {\vec {\nabla }}+2e{\vec {A}}\right)\psi \right|^{2}+{\frac {|{\vec {B}}|^{2}}{2\mu _{0}}}}$,

mit

• ${\displaystyle F_{n}}$: die freie Energie im Normalzustand,
• ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$: phänomenologische Parameter,
• ${\displaystyle m^{*}}$: effektive Masse (später mit der Masse von Cooperpaaren identifiziert)
• ${\displaystyle {\vec {A}}}$: das Vektorpotential und
• ${\displaystyle {\vec {B}}}$: die magnetische Induktion, die mit ${\displaystyle {\vec {A}}}$ über die Beziehung ${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {rot} {\vec {A}}}$ zusammenhängt.

Dabei wurde im Term für die minimale Kopplung gleich die Identifizierung der Ladung mit der von Cooperpaaren (${\displaystyle -2e}$) benutzt.

Die Minimierung der freien Energie hinsichtlich der Schwankungen des Ordnungsparameters und des Vektorpotentials führt auf die beiden Ginsburg-Landau-Gleichungen:

${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left(-\mathrm {i} \hbar {\vec {\nabla }}+2e{\vec {A}}\right)^{2}\psi =0}$ und

${\displaystyle {\vec {j}}=-{\frac {2e}{m^{*}}}\operatorname {Re} \left\{\psi ^{*}\left(-\mathrm {i} \hbar {\vec {\nabla }}+2e{\vec {A}}\right)\psi \right\}}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\vec {j}}}$ die elektrische Stromdichte und ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ den Realteil.

In der mathematischen Behandlung des Ginsburg-Landau-Modells erzielten Fabrice Béthuel, Frédéric Hélein, Haïm Brezis und Sylvia Serfaty bedeutende Fortschritte. Sie zeigten u. a., dass der Vortex für große Werte des Ordnungsparameters durch die Werte einer renormierten Energie festgelegt ist.[1]

Betrachtet man einen homogenen Supraleiter ohne äußeres Magnetfeld, dann vereinfacht sich die erste Ginsburg-Landau-Gleichung zu:

${\displaystyle \alpha \,\psi +\beta |\psi |^{2}\psi =0}$,

Die triviale Lösung ${\displaystyle \psi \,=0}$ dieser Gleichung entspricht dem Normalzustand des Metalls (nicht-supraleitender Zustand), der bei Temperaturen oberhalb der Sprungtemperatur ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ vorliegt.

Unterhalb der Sprungtemperatur wird eine nicht-triviale Lösung ${\displaystyle \psi \not =0}$ erwartet. Unter dieser Annahme kann obige Gleichung umgeformt werden in:

${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}}$ .

Der Betrag der komplexen Zahl auf der linken Seite der Gleichung ist nichtnegativ, d. h. ${\displaystyle \geq 0}$, damit auch sein Quadrat und damit auch die rechte Seite der Gleichung. Für die nicht-triviale Lösung von ${\displaystyle \psi }$ muss der Term auf der rechten Seite positiv sein, d. h. ${\displaystyle >0}$. Dies kann erreicht werden durch die Annahme folgender Temperaturabhängigkeit für ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \alpha (T)\,=\alpha _{\text{0}}(T-T_{\text{c}})}$, mit ${\displaystyle {\frac {\alpha _{\text{0}}}{\beta }}>0}$ .

• Unterhalb der Sprungtemperatur (${\displaystyle T<T_{\text{c}}}$) ist der Ausdruck ${\displaystyle \alpha (T)/\beta }$ negativ, die rechte Seite der obigen Gleichung positiv und es gibt eine nicht-triviale Lösung für ${\displaystyle \psi }$. Außerdem gilt in diesem Fall:

${\displaystyle \,|\psi |^{2}=-{\frac {\alpha _{0}(T-T_{c})}{\beta }}}$ , d. h. ${\displaystyle \psi }$ nähert sich Null, wenn die Temperatur ${\displaystyle T}$ von unten gegen die Sprungtemperatur ${\displaystyle T_{c}}$ strebt. Ein solches Verhalten ist typisch für einen Phasenübergang zweiter Ordnung.

• Oberhalb der Sprungtemperatur (${\displaystyle T>T_{\text{c}}}$) ist der Ausdruck ${\displaystyle \alpha (T)/\beta }$ positiv und die rechte Seite der obigen Gleichung negativ. In diesem Fall löst nur ${\displaystyle \psi \,=0}$ die Ginsburg–Landau-Gleichung.

In der Ginsburg–Landau-Theorie wird angenommen, dass diejenigen Elektronen, die zur Supraleitung beitragen, zu einer Superflüssigkeit kondensiert sind. Danach beschreibt ${\displaystyle \,|\psi |^{2}}$ gerade diesen Anteil an Elektronen.[2]

Aus den Ginsburg-Landau-Gleichungen lassen sich viele interessante Ergebnisse ableiten. Das vermutlich bedeutendste ist die Existenz von zwei charakteristischen Längen in Supraleitern.

• Nobelvortrag von Ginzburg

1. Fabrice Bethuel, Haim Brezis, Frederic Helein: Ginzburg-Landau Vortices (= Modern Birkhäuser Classics). Springer International Publishing, Cham 2017, ISBN 978-3-319-66672-3, doi:10.1007/978-3-319-66673-0 (englisch, springer.com [abgerufen am 23. Februar 2023]).
2. Vitaly L. Ginzburg: Nobel Lecture: On superconductivity and superfluidity (what I have and have not managed to do) as well as on the “physical minimum” at the beginning of the XXI century. In: Reviews of Modern Physics. Band 76, Nr. 3, 2. Dezember 2004, ISSN 0034-6861, S. 981–998, doi:10.1103/RevModPhys.76.981 (englisch, aps.org [abgerufen am 23. Februar 2023]).
3. P. G. De Gennes: Superconductivity of Metals and Alloys. 1. Auflage. CRC Press, 2018, ISBN 978-0-429-49703-2, S. 24 ff., doi:10.1201/9780429497032 (englisch, taylorfrancis.com [abgerufen am 23. Februar 2023]).
4. Michael Tinkham: Introduction to Superconductivity. 2nd ed Auflage. Dover Publications, Mineola, N.Y. 2004, ISBN 978-1-62198-598-3, S. 19 ff. (englisch, Originaltitel: Introduction to Superconductivity. 1975.).
5. A. A. Abrikosov: On the Magnetic Properties of Superconductors of the Second Group. In: Soviet Physics JETP. Band 5, Nr. 6, 1957, S. 1174 ff. (englisch, ras.ru [PDF]).