Gini-Koeffizient

Der Gini-Koeffizient wird insbesondere in der Wohlfahrtsökonomik verwendet, um beispielsweise das Maß der Gleichheit oder Ungleichheit der Verteilung von Vermögen oder Einkommen zu beschreiben. Der Koeffizient ist eine Alternative zum S80/S20-Einkommensquintilverhältnis, das in der EU-Statistik[1] Verwendung findet. Außerdem wird er als Konzentrationsrate bei der Messung der Unternehmenskonzentration auf einem Markt eingesetzt.

In der Informationstheorie wird er als Maß der „Reinheit“ oder „Unreinheit“ von Information verwendet.

Im Bereich des maschinellen Lernens gibt es ein statistisches Maß, das Gini Impurity genannt wird und mit dem Gini Index verwechselt werden kann. Gini Impurity im maschinellen Lernen wird verwendet, um die Qualität einer Trennung in Entscheidungsbäumen zu bewerten. Das Ziel dabei ist es, zu messen, wie "rein" die durch die Trennung entstandenen Teilmengen in Bezug auf die Zielvariable sind. Je niedriger das Gini Impurity Maß ist, desto reiner sind die Teilmengen.[2] Der Gini Index in der Sozioökonomie dagegen misst die Verteilung des Einkommens oder Vermögens innerhalb einer Bevölkerung. Es ist wichtig, beide Gini Indizes nicht zu verwechseln, da sie unterschiedliche Zwecke erfüllen und in unterschiedlichen Kontexten verwendet werden.

Im Bankwesen wird der Gini-Koeffizient als Maß dafür verwendet, wie gut ein Ratingsystem gute von schlechten Kunden trennen kann (Trennschärfe).[3]

Für eine aufsteigend sortierte, diskret verteilte Größe ${\displaystyle x=x_{1},\ldots ,x_{n}}$ (Beispiel: Haushaltseinkommen) ist die Lorenz-Kurve ${\displaystyle L(j,n)}$ gegeben durch

${\displaystyle L(j,n)=\sum _{i=1}^{j}{\frac {x_{i}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}}}=\sum _{i=1}^{j}{\frac {x_{i}}{n\mu }}=\sum _{i=1}^{j}l_{i}.}$[4]

Für die Position ${\displaystyle j}$ in der Einkommensverteilung gibt die Lorenz-Kurve daher den kumulierten Anteil am Gesamteinkommen an. ${\displaystyle \mu ={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}}$ bezeichnet das arithmetische Mittel. Bei einer Gleichverteilung entspräche die Fläche ${\displaystyle A}$ zwischen der 45-Grad-Linie und der Lorenzkurve dem Wert 0 und nimmt zu für ungleichere Verteilungen. Aus dieser Überlegung und dem Ziel, ein auf das Intervall ${\displaystyle [0;1]}$ normiertes Maß zu erhalten, ergibt sich der Gini-Ungleichheitskoeffizient als ${\displaystyle \mathrm {GUK} =2A.}$ Durch geometrische Zerlegung der Fläche ${\displaystyle A}$ erhält man:[5]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}l_{i}\left({\frac {i-1}{n}}+{\frac {i}{n}}\right)-{\frac {1}{2}}=\sum _{i=1}^{n}l_{i}{\frac {2i-n-1}{2n}}.}$

Für eine reale Verteilung kann man den Gini-Koeffizienten daher direkt folgendermaßen (unter Verwendung von ${\displaystyle l_{i}=x_{i}/(n\mu )}$) berechnen:

${\displaystyle \mathrm {GUK} =2A=\sum _{i=1}^{n}l_{i}{\frac {2i-n-1}{n}}={\frac {1}{n^{2}\mu }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(2i-n-1).}$

Eine alternative Formulierung, die keine Sortierung der Daten voraussetzt, basiert auf der sogenannten relativen mittleren absoluten Differenz. Die mittlere absolute Differenz bezeichnet die durchschnittliche Differenz aller vorhandenen Beobachtungspaare in einer Population. Diese wird ins Verhältnis gesetzt zum Durchschnittseinkommen. Damit der Gini-Koeffizient den gewünschten Wertebereich annimmt, wird die Differenz noch durch 2 geteilt:

${\displaystyle \mathrm {GUK} ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}|}{2n\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}}$

Ein gewisser Teil einer Menge A wird einem Teil einer anderen Menge B zugeordnet. Dies kann z. B. Geld (A) auf Menschen (B) oder auch Stromverbrauch (A) auf Städte (B) sein. Entscheidend ist, dass A eine homogene gut aufteilbare Menge darstellt. Zum Beispiel wäre der Besitz von Kfz nicht geeignet, da Kfz weder homogen – einzelne Typen unterscheiden sich erheblich – noch in kleine Einheiten aufteilbar sind.

Der Gini-Koeffizient ist die auf die Gleichverteilung normierte Fläche zwischen den Lorenz-Kurven einer Gleichverteilung und der beobachteten Verteilung.

${\displaystyle \mathrm {GUK} ={\frac {A_{g}-A_{ug}}{A_{g}}}}$

mit GUK als dem Gini-Ungleichverteilungskoeffizienten, ${\displaystyle A_{g}}$ der Fläche unter der Lorenz-Kurve einer Gleichverteilung und ${\displaystyle A_{ug}}$ der Fläche unter der Lorenz-Kurve für die beobachtete Verteilung.

A wird auf B verteilt, beispielsweise wird das Vermögen (A) auf die Bevölkerung (B) verteilt.

50 Prozent von B (b1) wird  2,5 Prozent von A zugeordnet (v1).
40 Prozent von B (b2) wird 47,5 Prozent von A zugeordnet (v2).
 9 Prozent von B (b3) wird 27,0 Prozent von A zugeordnet (v3).
 1 Prozent von B (b4) wird 23,0 Prozent von A zugeordnet (v4).

In einem ersten Schritt werden die Daten „normalisiert“ dargestellt:

b1 = 0,50     v1 = 0,025          v1/b1 =  0,05
b2 = 0,40     v2 = 0,475          v2/b2 =  1,188
b3 = 0,09     v3 = 0,270          v3/b3 =  3
b4 = 0,01     v4 = 0,230          v4/b4 = 23

Im zweiten Schritt wird der Gini-Koeffizient berechnet.

Den Gini-Ungleichverteilungskoeffizienten (GUK) erhält man durch Auswertung einer Lorenz-Kurve.

Damit tatsächlich eine Lorenz-Kurve entsteht, müssen gegebenenfalls die obigen Werte umsortiert werden. Alle Werte-Paare ${\displaystyle (v_{i},b_{i})}$ müssen zunächst so vorsortiert werden, dass gilt:

${\displaystyle {\frac {v_{i}}{b_{i}}}\geq {\frac {v_{i-1}}{b_{i-1}}}}$

Bei dem obigen Beispiel liegt schon die richtige Sortierung vor, so dass nicht umsortiert werden muss.

Die gesuchte Lorenz-Kurve entsteht, wenn man (x_i,y_i)-Paare als Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem einträgt und anschließend benachbarte Punkte mit einer Geraden verbindet. Die ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$-Paare entstehen aus den ${\displaystyle (v_{i},b_{i})}$-Paaren nach folgender Rechenvorschrift:

${\displaystyle x_{n}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\quad {\text{und}}\quad y_{n}=\sum _{j=1}^{n}v_{j}.}$

Im zweiten Schritt werden aus den Daten des ersten Schritts die nachfolgenden Daten durch Summation ermittelt (wobei am Anfang (0, 0) als fester Wert dazu kommt):

x0 = 0,00     y0 = 0
x1 = 0,50     y1 = 0,025
x2 = 0,90     y2 = 0,5    (da 0,5 + 0,4 = 0,9 und 0,025 + 0,475 = 0,5 ist)
x3 = 0,99     y3 = 0,77
x4 = 1,00     y4 = 1

Bei totaler Gleichverteilung des Vermögens ist die Lorenz-Kurve eine gerade Linie von Punkt (0|0) zu Punkt (1|1).

Zur Bestimmung des Gini-Koeffizienten werden zuerst zwei Größen bestimmt, die graphisch betrachtet Flächen sind. Einmal die Fläche unter der Gleichverteilungslinie, nennen wir diese Größe beispielsweise A. Die zweite Fläche ist die Fläche unter der tatsächlichen Verteilungskurve, nennen wir diese Größe beispielsweise B. Mit diesen beiden Größen berechnet sich der Gini-Ungleichverteilungskoeffizient wie folgt:

${\displaystyle \mathrm {GUK} ={\frac {A-B}{A}}}$

B ist die dunkelgraue Fläche; A setzt sich aus der hell- und der dunkelgrauen Fläche zusammen.

Errechnen der y-Werte der Lorenz-Kurve der tatsächlichen Verteilung:

y0 = 0,000
y1 = v1 = 0,025
y2 = v1 + v2 = 0,500
y3 = v1 + v2 + v3 = 0,770
y4 = v1 + v2 + v3 + v4 = 1,000

Berechnung der Fläche B unter der Lorenz-Kurve der tatsächlichen Verteilung (siehe unten):

(y1 - 0,5 · v1) · b1 = 0,00625
(y2 - 0,5 · v2) · b2 = 0,105
(y3 - 0,5 · v3) · b3 = 0,05715
(y4 - 0,5 · v4) · b4 = 0,00885

Die Summe daraus beträgt

B = 0,17725

Da eine normierte Darstellung verwendet wird, verbindet die Kurve der totalen Gleichverteilung die Eckpunkte (0|0) und (1|1) miteinander. Das Dreieck mit der Fläche A beträgt also 0,5. Darum gilt für den Gini-Ungleichverteilungskoeffizienten:

${\displaystyle \mathrm {GUK} ={\frac {A-B}{A}}={\frac {0{,}5-B}{0{,}5}}=1-2\cdot B=1-0{,}3545=0{,}6455}$[6]

Graphisch betrachtet ist der Gini-Koeffizient das Verhältnis der Fläche zwischen Gleichverteilungslinie und Lorenzkurve (A-B) zur Fläche unterhalb der Gleichverteilungslinie (A).

Erläuterung zur Berechnung

Die gesamte Gini-Fläche ist ein Rechteck mit den Seiten ${\displaystyle v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}}$ mal ${\displaystyle b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}}$. Die Gini-Fläche einer Gleichverteilung ist die Hälfte der gesamten Gini-Fläche. Zur Berechnung der Fläche unter der Kurve werden alle Einzelflächen addiert. Nehmen wir beispielsweise ${\displaystyle b_{2}}$. Voll anzurechnen ist das Rechteck mit der Höhe ${\displaystyle y_{1}}$ und der Breite ${\displaystyle b_{2}}$ (d. h. von ${\displaystyle x_{1}}$ bis ${\displaystyle x_{2}}$). Von dem Rechteck, das von der Höhe ${\displaystyle y_{1}}$ bis zur Höhe ${\displaystyle y_{2}}$ geht, ist nur die Hälfte zu nehmen, da die andere Hälfte oberhalb der Ginilinie nicht zur Gini-Fläche gehört. Also ist

${\displaystyle {\text{Fläche}}=y_{1}\cdot b_{2}+{\frac {(y_{2}-y_{1})\cdot b_{2}}{2}}={\frac {(y_{2}+y_{1})\cdot b_{2}}{2}}}$

oder auch

${\displaystyle {\text{Fläche}}=\left(y_{2}-{\frac {v_{2}}{2}}\right)\cdot b_{2}.}$

Alternative Anschauung zur Flächenberechnung: Die Einzelfläche über ${\displaystyle b_{2}}$ ist die Differenz aus der Rechtecksfläche, die von den Punkten (x₁,y₀=0), (x₂,y₀=0), (x₂,y₂), (x₁,y₁) begrenzt wird (Inhalt: ${\displaystyle b_{2}\cdot y_{2}}$), abzüglich der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das von den Punkten (x₁,y₁), (x₂,y₁), (x₁,y₂) begrenzt wird (Inhalt: ${\displaystyle {\tfrac {b_{2}\cdot v_{2}}{2}}}$), mit gleichem Ergebnis.