Gimbal Lock

Eine Drehung in drei Dimensionen um die Kardanwinkel ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ lässt sich durch die Drehmatrix ${\displaystyle \mathbf {R} }$ darstellen. Sie lässt sich durch das Matrixprodukt von drei Matrizen darstellen, die jeweils nur von einem der Winkel abhängen.

${\displaystyle {\mathbf {R} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Ein Gimbal Lock tritt auf, wenn ${\displaystyle \beta ={\tfrac {\pi }{2}}}$ und somit ${\displaystyle \cos \beta =0}$ und ${\displaystyle \sin \beta =1}$ werden. Dann wird ${\displaystyle {\mathbf {R} }}$ zu:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {R} }&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &0\\-\cos \alpha \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma &\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma &0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin(\alpha +\gamma )&\cos(\alpha +\gamma )&0\\-\cos(\alpha +\gamma )&\sin(\alpha +\gamma )&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

In dieser Matrix taucht nur noch die Kombination ${\displaystyle \alpha +\gamma }$ auf. Das bedeutet, dass die zwei unabhängig gewählten Winkel ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \gamma }$ zu einer Transformation führen, die nur einen Parameter hat. Die Parameter sind nicht länger unabhängig voneinander. Dadurch ist einer der Freiheitsgrade verloren gegangen.