Gieseking-Konstante

Alternative Schreibweisen der Gieseking-Konstante sind

${\displaystyle G={\rm {Cl_{2}}}\left({\frac {1}{3}}\pi \right)}$,

wobei ${\displaystyle {\rm {Cl_{2}}}}$ die Clausen-Funktion ist,

${\displaystyle G={\frac {1}{36}}i\left(\pi ^{2}-36{\rm {Li_{2}}}(-(-1)^{2/3})\right)={\frac {1}{2}}i\left({\rm {Li_{2}}}((-1)^{2/3})-{\rm {Li_{2}}}((-1)^{1/3})\right)}$,

wobei ${\displaystyle {\rm {Li_{2}}}}$ der (klassische) Dilogarithmus ist,

${\displaystyle G=D\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle D}$ der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist,

${\displaystyle G=3\Lambda \left({\frac {\pi }{3}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle \Lambda }$ die Lobatschewski-Funktion ist, und

${\displaystyle G={\frac {\psi _{1}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{1}({\tfrac {2}{3}})}{4{\sqrt {3}}}}}$,

wobei ${\displaystyle \psi _{1}}$ die Trigamma-Funktion ist.

Folgendes Integral entsteht durch Substitution aus der gezeigten Integraldefinition:

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(1+x)(3-x)}}}\ln {\biggl (}{\frac {1}{1-x}}{\biggr )}\mathrm {d} x}$

Durch weitere Substitution entsteht die nun folgende Identität:

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {8\operatorname {artanh} (x)}{(1+x){\sqrt {(1+3x)(3+x)}}}}\,\mathrm {d} x}$

Dieses Integral resultiert aus der Definition der Gieseking-Konstante über ihre Reihenentwicklung:

${\displaystyle G={\frac {3\,{\sqrt {3}}}{4}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x\exp(x)}{\exp(2x)+\exp(x)+1}}\,\mathrm {d} x}$

Eine weitere Integraldarstellung kann mit Hilfe der sogenannten Abel-Plana-Summenformel hervorgebracht werden:

${\displaystyle G={\frac {13\,{\sqrt {3}}}{32}}+{\frac {9\,{\sqrt {3}}}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x\exp(-\pi x)}{\sinh(\pi x)}}{\biggl [}{\frac {1}{(9x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {2}{(9x^{2}+4)^{2}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x}$

Mit den Mittleren Binomialkoeffizienten kann folgende Summenreihe über die Gieseking-Konstante aufgestellt werden:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\operatorname {CBC} (n)}}={\frac {2\,\pi }{3}}\,G-{\frac {4}{3}}\,\zeta (3)}$

So ist der Mittlere Binomialkoeffizient definiert:

${\displaystyle \operatorname {CBC} (n)={2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {\Pi (2n)}{\Pi (n)^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {CBC} (n)=\prod _{m=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {n}{m}}{\bigr )}^{2}{\bigl (}1+{\frac {2n}{m}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}}$

Die beiden nun genannten Formeln stimmen miteinander überein.