Gesetz der Nachfrage

Sei ${\displaystyle x_{i}(\mathbf {p} ,y)}$ die Marshallsche Nachfrage nach einem Gut ${\displaystyle i}$ in Abhängigkeit von einem Preisvektor ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ und dem individuellen Einkommen ${\displaystyle y}$. (Die marshallsche Nachfrage resultiert aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Haushalts und gibt die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – an, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Einkommen ${\displaystyle y}$ ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen.)

Das Theorem folgt direkt aus der Slutsky-Gleichung, wonach

${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{j}}} _{\mathrm {Gesamteffekt} }=\underbrace {\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}{\partial p_{j}}} _{\mathrm {Substitutionseffekt} }\underbrace {-x_{j}(\mathbf {p} ,y){\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}} _{\mathrm {Einkommenseffekt} }}$

(Für eine Erläuterung wird auf den Artikel Slutsky-Gleichung verwiesen.) Im Eigenpreisfall i=j geht aus dieser unmittelbar hervor, dass der Einkommenseffekt negativ ist (gemäß der Annahme von Normalität). Der Substitutionseffekt ist jedoch ebenfalls negativ, da die Hicks’sche Nachfrage nach einem Gut stets im Preis dieses Gutes fällt. Dies folgt aus Shephards Lemma[4]: Wegen ${\displaystyle x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})=\partial e(\mathbf {p} ,{\overline {u}})/\partial p_{i}}$ auch ${\displaystyle \partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})/\partial p_{i}=\partial ^{2}e(\mathbf {p} ,{\overline {u}})/\partial p_{i}^{2}}$. Da die Ausgabenfunktion ${\displaystyle e}$ aber konkav ist, ist diese partielle Ableitung ${\displaystyle \leq 0}$.

Folglich ist der Gesamteffekt ebenfalls negativ, was zu zeigen war.

Man überlege sich, dass in der Ausgangssituation ein Nachfrager gegeben die Güterpreise ${\displaystyle \mathbf {p} ^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right)}$ und das Haushaltseinkommen ${\displaystyle y^{0}}$ ein optimales Güterbundel ${\displaystyle \mathbf {q} ^{0}=\left(q_{1}^{0},\ldots ,q_{n}^{0}\right)}$ wählt. Nun falle der Preis von Gut i von ${\displaystyle p_{i}^{0}}$ auf ${\displaystyle p_{i}^{1}}$, woraus ein neues Preistupel ${\displaystyle \mathbf {p} ^{1}}$ resultiert. Zur gleichen Zeit modifiziert ein allwissender Planer das Haushaltseinkommen so, dass für den Haushalt das beste vor der Preisänderung erreichbare Güterbündel, ${\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}$, auch nach der Preissenkung gerade noch so bezahlbar ist (Slutsky-Kompensation).

Annahmegemäß ist der Nutzen aus ${\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}$ also gleich dem aus ${\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}$. Da der Haushalt beim Preissystem ${\displaystyle \mathbf {p} ^{0}}$ das Güterbündel ${\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}$ und nicht ${\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}$ gewählt hat, muss bei Gültigkeit des schwachen Axioms offenbarter Präferenzen (weak axiom of revealed preferences – WARP) das Güterbündel ${\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}$ zu Preisen ${\displaystyle \mathbf {p} ^{0}}$ mindestens so teuer gewesen sein als ${\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}$, da es für den Haushalt sonst schon im Zeitpunkt 0 strikt besser gewesen wäre, ${\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}$ zu wählen.[6] Formal:

1) ${\displaystyle \mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{0}\leq \mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{1}}$.

Umgekehrt lässt sich mittels WARP auch analog einsehen, dass beim Preissystem ${\displaystyle \mathbf {p} ^{1}}$ der Haushalt wenigstens einen schwachen Anreiz haben muss, das Güterbündel ${\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}$ dem Bündel ${\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}$ vorzuziehen – sonst hätte er nicht ${\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}$ gewählt. Das Güterbündel ${\displaystyle \mathbf {q} ^{1}}$ kann also zu Preisen ${\displaystyle \mathbf {p} ^{1}}$ nicht teurer sein als das Bündel ${\displaystyle \mathbf {q} ^{0}}$, das heißt

2) ${\displaystyle \mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{1}\leq \mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{0}}$.

Addieren von 1) und 2) liefert nun sofort

${\displaystyle \mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{0}+\mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{1}\leq \mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {q} ^{1}+\mathbf {p} ^{1}\cdot \mathbf {q} ^{0}\quad \Leftrightarrow \quad \left(\mathbf {p} ^{1}-\mathbf {p} ^{0}\right)\cdot \left(\mathbf {q} ^{1}-\mathbf {q} ^{0}\right)\leq 0}$,

was zu zeigen war.

In der Vorüberlegung wird gezeigt, dass das schwache Axiom offenbarter Präferenzen die Gültigkeit des Gesetzes der kompensierten Nachfrage impliziert. Es lässt sich zeigen, dass hierzu auch die Rückrichtung gilt.