Geschichte der Logik

Zu den Vorläufern der antiken Logik gehören die Vorsokratiker (6. und 5. Jahrhundert v. Chr.), die Sophisten (ab dem 5. Jahrhundert v. Chr.) und Platon (4. Jahrhundert v. Chr.). Die Sophisten lehrten, meist gegen Bezahlung, zum Beispiel wie man vor Volksversammlungen oder vor Gericht Reden halten und Gesprächspartner oder Zuhörer überreden konnte. Dazu unterrichteten sie Rhetorik, einzelne logische Kunstgriffe und manchmal auch, wie man Trugschlüsse anwenden konnte.

Platon hat zwar kein logisches System und nicht einmal eine logische Schrift hinterlassen, in seinen Dialogen findet man aber bereits zahlreiche Stellen, die Themen der Logik behandeln und starken Einfluss auf den Begründer der Logik, seinen Schüler Aristoteles, gehabt haben. Die Beschäftigung Platons mit der Ordnung und den Gesetzen des Denkens ist wohl als Antwort auf die von ihm abgelehnte, willkürliche, oft mutwillig in die Irre führende Begriffs- und Argumentationsakrobatik der Sophisten zu sehen. Die wichtigste logische Entdeckung Platons war wohl die Begriffseinteilung (diairesis). Es handelt sich dabei um eine Methode, die es möglich macht, einen gesuchten Begriff zu definieren, indem sie niedrigere unter höhere Begriffe subsumiert.[1] Außer der Dihairesis haben auch die ständigen Übungsgespräche der Lehrer und Schüler der platonischen Akademie die weitere Geschichte der Logik beeinflusst. Bei der ersten logischen Schrift des jungen Aristoteles, der Topik, handelt es sich nämlich um die Ausformulierung eines Regelwerks des korrekten Argumentierens.[2]

Abgesehen vom logischen Vokabular, das Platon zur Methode der Dihairesis benutzt (zum Beispiel Definition, Unterschied (bei Aristoteles dann spezifischer Unterschied), Gattung, Art), ist erwähnenswert, dass sich bereits eine Bestimmung der Aussage und der wahren oder falschen Aussage findet. Platon unterscheidet (im Dialog Sophistes 261c) eine wahre Begriffsverbindung aus einem Haupt- und einem Zeitwort, „Theaitetos sitzt“, von einer falschen, „Theaitetos fliegt“.[3]

Ein erstes System der Logik findet man dann bei Aristoteles (384–322 v. Chr.), der nicht nur als Begründer der Logik gilt, sondern auch von unvergleichbarer Bedeutung für die weitere Geschichte der Logik und ihre Entwicklung war. Sein logisches Werk Organon (Werkzeug) besteht aus sechs Einzelschriften, in denen alle wesentlichen Teile der Logik behandelt werden: der „Begriff“ (Kategorien), die aus Begriffen bestehende „Aussage“ (De Interpretatione) und der aus Aussagen bestehende „Schluss“ (Analytica priora und Analytica posteriora). Weiter wird die Praxis des Schlussfolgerns behandelt (Topik und Sophistische Widerlegungen), außer im Organon kommen auch im vierten Buch der Metaphysik logische Probleme zur Sprache.

Die aristotelische Logik ist ein logisches System, in dem Begriffe zueinander in Beziehung gesetzt werden. Es handelt sich also nicht um eine Aussagenlogik, sondern um eine Term- oder Begriffslogik. In der unmittelbaren Nachgeschichte geriet Aristoteles’ Logik schnell in Vergessenheit, bis in die Spätantike dominierte die stoische Aussagenlogik.[4] Erst im Mittelalter beginnt sie zu dominieren und die Entwicklung der Logik entscheidend zu beeinflussen.

In der Schrift Kategorien werden die „Wörter“ in zehn Arten (die Kategorien) unterteilt. Diese zehn Wortarten (Sokrates bezeichnet einen bestimmten Menschen, Mensch ist ein Allgemeinbegriff, weiß ist eine Eigenschaft usw.) unterscheiden sich so, dass sich jede Wortart mit manchen der anderen Wortarten zu einem „Satz“ verbinden lässt. Ein Satz besteht mindestens aus zwei Wörtern (Der Mensch läuft; Sokrates ist ein Mensch). Im Gegensatz zu Wörtern sind Sätze entweder bejahend oder verneinend. Jede Bejahung und jede Verneinung ist entweder wahr oder falsch, Sätze haben also einen „Wahrheitswert“. Weiter gibt es vier verschiedene Arten von Dingen, von denen eine Art immer nur als Subjekt eines Satzes, nie als Prädikat eines Satzes fungieren kann (Dinge, die bestimmte Individuen sind, wie z. B. „Sokrates“). Andere sowohl als Subjekt, wie auch als Prädikat eines Satzes (z. B. „Mensch“ als Subjekt: „Der Mensch ist ein Lebewesen“ und als Prädikat: „Sokrates ist ein Mensch“").

Wesentlicher Inhalt von De Interpretatione ist eine Analyse der logischen Aussage. Im Rahmen dieser Analyse bezeichnet Aristoteles die Bejahung (S=P) und die Verneinung (S≠P) derselben Begriffe als Kontradiktion. Der Satz vom Widerspruch (S kann nicht P und gleichzeitig nicht P sein) gilt seitdem als grundlegendes logisches Gesetz. Weiter wird eingeführt, was man heute als Quantor bezeichnet: vor Allgemeinbegriffe kann man folgende Quantoren setzen „jeder Mensch ist ein Sinnenwesen“, „kein Mensch ist eine Schildkröte“, „nicht jeder Mensch heißt Sokrates“ bzw. „manche Menschen heißen Sokrates“. Zwischen den Aussagen „jeder Mensch ist weiß“ und „nicht jeder Mensch ist weiß“ besteht – genau eine der beiden ist richtig – ein kontradiktorischer Gegensatz; zwischen den Aussagen „jeder Mensch ist weiß“ und „kein Mensch ist weiß“ besteht – beide sind falsch – eine zweite Art von Gegensatz, der konträre Gegensatz. Ein zweites logisches Gesetz, der Satz vom ausgeschlossenen Dritten taucht ebenfalls zuerst bei Aristoteles auf. So muss eine der zwei kontradiktorisch entgegengesetzten Aussagen S=P und S≠P wahr sein. Allerdings gilt dieses Gesetz im folgenden Fall nicht. Keine der beiden kontradiktorisch entgegengesetzten Aussagen „Morgen wird dieses Haus einstürzen“ und „Morgen wird dieses Haus nicht einstürzen“ kann man als wahr oder falsch bezeichnen. Für Aussagen, die Zukünftiges aussagen, könnte man – neben wahr und falsch – einen dritten Wahrheitswert einführen. Aristoteles hat damit die Mehrwertige Logik vorweggenommen. Auch das Verb ist wird bereits bei Aristoteles in seiner zweifachen Funktion thematisiert: erstens wird es Subjekten zugesprochen, um ihre Existenz auszusagen: „Sokrates ist“, zweitens dient es als Verbindung (heute Kopula genannt) zwischen Subjekt und Prädikat einer Aussage: „Sokrates ist ein Mensch“. Weiter werden Privationen behandelt (Nichtmensch, ungerecht, ungerade) und verschiedene Arten von Prädikaten unterschieden: Prädikate wie weiß und gut kommen dem Subjekt Mensch akzidentiell zu; Prädikate wie zweifüßig und Lebewesen kommen dem Subjekt Mensch hingegen wesentlich zu, sie lassen sich zu einer Definition des Subjekts verbinden. Mit der Einführung der heute so genannten Modalbegriffe begründet Aristoteles auch die Modallogik. Modalbegriffe beziehen sich auf Aussagen: möglich (problematische Aussage: es ist möglich, dass S P ist) und notwendig (apodiktische Aussage: es ist notwendig so, dass S P ist).

Als logisches Hauptwerk, gelten die beiden umfangreichen Analytiken. Hier entwickelt Aristoteles die „Syllogistik“, seine Beweis- und Schlusslehre, die ein formales logisches System im modernen Sinn bildet. In einem Schluss wird aus zwei Aussagen (Prämissen) auf eine dritte Aussage (Konklusion) geschlossen. Diese drei Aussagen sind ihrerseits aus drei Begriffen (Subjekt – Prädikat – Mittelbegriff) zusammengesetzt. Ein Beispiel: aus den Prämissen Sokrates (Subjekt) ist ein Mensch (Mittelbegriff) und Alle Menschen (M) sind Lebewesen (Prädikat) folgt die Konklusion Sokrates (S) ist ein Lebewesen (P). Aristoteles unterscheidet drei Arten von Schlüssen (er nennt sie die drei Figuren), die heute Deduktion, Induktion und Abduktion genannt werden.[5]

Abseits der aristotelischen Begriffslogik entwickelt sich zuerst in der megarischen, dann in der einflussreichen stoischen Philosophenschule die zweiwertige Aussagenlogik (4. und 3. Jahrhundert v. Chr.). Wobei erstens bemerkt werden muss, dass durchaus eine Begriffslogik dieser Schulen existiert haben wird, jedoch verloren gegangen ist und zweitens, dass schon Aristoteles Schüler Theophrast die Syllogistik um aussagenlogische Schlüsse erweitert hat. Wirkmächtig war zunächst nur die stoische Logik, die ihre Logik in Handbüchern verbreitete.[6] Im Mittelalter wurde sie fast vollständig durch die aristotelisch-scholastische Logik verdrängt, um erst 1934 von Łukasiewicz quasi wiederentdeckt zu werden. Benson Mates und Michael Frede haben Monographien zur megarisch-stoischen Logik verfasst. Die Quellenlage ist schlecht, man ist v. a. auf Sextus Empiricus, Diogenes Laertios und Galen angewiesen.

Eubulides formulierte als erster das Lügner-Paradox, Philon die älteste Wahrheitstafel. Ebenfalls von Philon stammt die Aussagenverknüpfung durch die Worte wenn und dann, die so genannte materiale Implikation (wenn A, dann B; in Worten: Wenn Stefan zur Party kommt, dann nimmt er Lukas mit). Weitere Aussagenverknüpfungen stammen von Chrysipp: die Konjunktion (A und B; in Worten: Stefan kommt und Lukas kommt), die ausschließende Disjunktion (entweder A oder B; in Worten: Entweder heirate ich dich oder ich heirate Judith). Für die Stoiker ist auch die einschließende Alternative (mindestens A oder B) überliefert. Diodoros Kronos, Philon und Chrysipp lieferten auch Beiträge zur Modallogik.[8] Die Stoiker entwickelten eine Axiomatisierung ihrer Aussagenlogik.[9]

Die lateinische Tradition der Logik beginnt mit Cicero (1. Jahrhundert v. Chr.) und seinen Übersetzungen ins Lateinische. Auf Apuleius (2. Jahrhundert) gehen ebenfalls zahlreiche lateinische Termini und das graphische Schema des logischen Quadrats zurück.

Aus der Übergangszeit von der Antike bis zum Frühmittelalter sind keine wesentlichen logischen Texte überliefert, man beschäftigte sich aber mit Materialsammlungen und Kommentaren der Logik Platons, Aristoteles und der Stoiker. Zu nennen sind Galen (2. Jahrhundert), Alexander von Aphrodisias (2./3. Jahrhundert) und Porphyrios (3. Jahrhundert) mit seinem porphyrianischen Baum. Von Diogenes Laertios ist ein umfangreiches Werk über die Geschichte der Philosophie und damit auch der Logik überliefert.

Einflussreich war Boethius (5./6. Jahrhundert), der nicht nur ältere Texte übersetzte, sondern sich auch eigenständig mit Logik beschäftigte. Weiter zu nennen sind Isidor (5./6. Jahrhundert) und Cassiodor (6. Jahrhundert).

Im 17. Jahrhundert entwickelt sich eine Art von formaler Logik, die noch heute geläufig und unter dem Namen „traditionelle Logik“ bekannt ist. Als stellvertretende unter den frühen Schriften dieser Strömung können das einflussreiche Handbuch Logik von Port-Royal[13] und die Logica Hamburgensis genannt werden. In dieser frühen klassischen Logik entwickelte sich auch ein (nichtformallogischer) Strang, der bei Kant seinen Höhepunkt erreichte: Man begann danach zu fragen, wie das erkennende Subjekt überhaupt zu Begriffen, Aussagen und Schlüssen kommt – also nach den erkenntnistheoretischen Voraussetzungen und Implikationen von Logik.

Generell lässt sich für die frühere neuzeitliche Philosophie ein gewisses Desinteresse für formale Logik diagnostizieren (bei Descartes, Spinoza, Locke, Hume, Kant, Hegel usw.). Man beschränkte sich auf die Weitervermittlung von Lehrbuchwissen; und so verwundert es auch nicht, dass bedeutende Philosophen wie Kant und Hegel den Begriff „Logik“ in heute missverständlicher Weise auch für die gewollt nichtformalen Teile ihrer Systeme – die transzendentale (Kant) und die dialektische Logik (Hegel) – verwendeten. Trotz anderslautender Ansichten hatte Kant allerdings nichts gegen formale (er sagt „allgemeine“) Logik einzuwenden; er geht mit seiner transzendentalen Logik lediglich über diese hinaus. Die überlieferte – und von ihm auch unterrichtete – formale Logik seiner Zeit floss zudem an vielen Stellen in seine Kritik der reinen Vernunft ein.

Bedeutende Leistungen auf dem Gebiet der formalen Logik in der früheren Neuzeit erbrachte Gottfried Wilhelm Leibniz. Er hatte zwar Nachfolger (u. a. Jakob I Bernoulli, Gottfried Ploucquet, Johann Heinrich Lambert, Bernard Bolzano), da jedoch die meisten seiner logischen Schriften erst lange nach seinem Tod veröffentlicht wurden, blieb er vorerst ohne großen Einfluss auf die Geschichte der Logik. Zu erwähnen ist v. a. sein früher Versuch, die Logik mittels einer eigens konstruierten logischen Sprache weiterzubringen, in der statt wirklicher Begriffe und Aussagen Variablen verwendet werden.

Erst Mitte des neunzehnten Jahrhunderts findet die formale Logik wieder breitere Beachtung, zunächst vor allem in England. Richtungsweisend ist hier George Boole mit dem kürzeren Traktat „The Mathematical Analysis of Logic“ (1847) und seinem späteren Hauptwerk „Laws of Thought“ (1854). Booles Idee ist es, Logik als einen mathematischen Kalkül aufzufassen, der auf die Werte 1 und 0 (wahr und falsch) beschränkt ist. Auf Klassensymbolen können so algebraische Operationen wie Addition, Multiplikation usw. ausgeführt werden. Auf diese Weise entwickelt Boole ein vollständiges System der einstelligen Prädikatenlogik, welches die Syllogistik als Subsystem enthält. Zeitgleich mit Boole veröffentlicht Augustus De Morgan sein Werk „Formal Logic“ 1847. De Morgan interessiert sich hier u. a. für eine Verallgemeinerung der Syllogistik auf Aussagen der Form „Die meisten A sind B“. Ein weiterer Logiker in England ist John Venn, der sein Buch „Symbolic Logic“ mit den berühmten Venn-Diagrammen 1881 veröffentlicht. An der logischen Forschung ist in Deutschland Ernst Schröder beteiligt.

Der eigentliche Durchbruch zur modernen Logik gelingt jedoch Gottlob Frege, der als einer der bedeutendsten Logiker der Zeit der Formalisierung der Logik angesehen werden muss. In seiner Begriffsschrift (1879) stellt er zum ersten Mal eine volle Prädikatenlogik zweiter Stufe vor. Außerdem entwickelt er hier die Idee einer formalen Sprache und darauf aufbauend die Idee des formalen Beweises, in dem nach Freges Worten nichts „dem Errathen überlassen“ bleibt. (→Klassische Logik) Gerade diese Ideen bilden eine ganz wesentliche theoretische Grundlage für die Entwicklung der modernen Computertechnik und Informatik. Freges Werk wird allerdings von seinen Zeitgenossen zunächst kaum wahrgenommen; dies mag u. a. an seiner sehr schwer zu lesenden logischen Notation liegen. In den beiden 1893 und 1903 erschienenen Bänden der „Grundgesetze der Arithmetik“ versucht Frege, die gesamte Mathematik in einer Art Mengentheorie zu axiomatisieren. Dieses System enthält jedoch einen Widerspruch (die sogenannte Russellsche Antinomie), wie Frege in einem berühmt gewordenen Brief von Bertrand Russell aus dem Jahr 1902 erfahren muss.

Unabhängig von Frege entwickelte in Amerika Charles Sanders Peirce gemeinsam mit seinem Studenten O.H. Mitchell die vollständige Syntax für eine Quantorenlogik, die sich nur in wenigen Zeichen von der späteren Russell-Whitehead-Syntax (1910) unterschied und vier Jahre nach Freges Begriffsschrift veröffentlicht wurde. Darüber hinaus erfand Peirce mit den existentiellen Graphen (engl. existential graphs), eine graphische Schreibweise für die Aussagenlogik (Alphagraphen), Prädikatenlogik erster Stufe (Betagraphen) und für die Prädikatenlogik höherer Stufe sowie für Modallogik (Gammagraphen). Auch Peirce hatte maßgeblichen Einfluss auf die weitere Entwicklung der Logik. Ernst Schröder verwendete Peirces Schriften um seinen eigenen Logikkalkül zu entwickeln und über Schröder hatte Peirce auch Einfluss auf die „Principia Mathematica“ von Russell und Whitehead. Aufgrund eines Skandals verlor Peirce 1884 seine Anstellung an der Johns-Hopkins-Universität und arbeitete von da an als Privatgelehrter. Aufgrund dieses Ausschlusses aus der akademischen Welt wurde sein extrem umfangreiches Werk (ca. 50.000 digitalisierte Manuskriptseiten) erst allmählich bekannt und ist bis heute nicht vollständig erschlossen. (→Schriften von Charles Sanders Peirce) Bertrand Russell[14] und Karl-Otto Apel[15] bezeichneten ihn als den „größten amerikanischen Denker“, Karl Popper betrachtete Peirce sogar als „einen der größten Philosophen aller Zeiten“.[16]

Russell selbst bleibt es vorbehalten, zusammen mit Alfred North Whitehead in den Principia Mathematica (1910) die erste widerspruchsfreie mengentheoretische Grundlegung der Mathematik vorzulegen. Die Autoren würdigen Frege im Vorwort, ihm verdankten sie das meiste in „logisch-analytischen Fragen“. Im Gegensatz zu Freges Werk werden die Principia Mathematica ein durchschlagender Erfolg. Einen Grund hierfür kann man u. a. in der von Russell/Whitehead verwendeten Notation sehen, die zu weiten Teilen heute noch üblich ist. Anstöße zu dieser Notation lieferte Giuseppe Peano, ein weiterer bedeutender Logiker des ausgehenden 19. Jahrhunderts, den Russell im Jahre 1900 bei einem Kongress kennenlernte. Neben seinen Gedanken zur logischen Notation ist Peano vor allem für seine Axiomatisierung der Zahlentheorie (die sogenannten Peano-Axiome) bekannt.

Das aussagenlogische Fragment der „Principia Mathematica“ dient als Ausgangspunkt für die Entwicklung einer ganzen Reihe metalogischer Begriffe. In seiner Habilitationsschrift von 1918 zeigt Paul Bernays (aufbauend auf der Arbeit David Hilberts) Widerspruchsfreiheit, syntaktische und semantische Vollständigkeit und Entscheidbarkeit und untersucht die Unabhängigkeit der Axiome (wobei er feststellt, dass eines der Axiome tatsächlich abhängig, also überflüssig, ist).

Neben der axiomatischen Methode der „Principia“ werden weitere Kalkültypen entwickelt. 1934 präsentiert Gerhard Gentzen sein System des natürlichen Schließens und den Sequenzenkalkül. Hierauf aufbauend entwickelt Evert Willem Beth 1959 den Tableaukalkül. Wiederum an diesem orientiert sich Paul Lorenzen bei seiner Dialogischen Logik.

Die moderne Logik bringt außerdem die Entwicklung einer Semantik der Prädikatenlogik mit sich. Eine wichtige Vorarbeit hierzu stellt der berühmte Satz von Löwenheim-Skolem dar (zuerst bewiesen von Leopold Löwenheim im Jahr 1915, ein allgemeineres Resultat zeigt Albert Thoralf Skolem 1920). Kurt Gödel beweist 1929 die Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe (→Gödelscher Vollständigkeitssatz), 1931 die Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik (→Gödelscher Unvollständigkeitssatz). 1933 formuliert Alfred Tarski eine Wahrheitstheorie für die Prädikatenlogik.

Weitere wichtige Ereignisse in der Geschichte der modernen Logik sind die Entwicklung der Intuitionistischen Logik, der Modallogik, des Lambda-Kalküls, der Typentheorie sowie der Stufenlogik (Logik höherer Stufe). Ein wichtiger Trend in der modernen Logik ist auch die Entwicklung von Theorembeweisern (siehe auch Künstliche Intelligenz) sowie die Anwendung von Logik in der Informatik durch Formale Methoden.

Nach einigen bis ins 7. Jahrhundert v. Chr. zurückreichenden Vorläufern bilden das Nyaya Sutra, das im 2. Jh. n. Chr. in endgültiger Form vorlag, und seine Kommentare den eigentlichen Anfang der indischen Logik. Zwischen 500 und 1300 wurde die Logik besonders von Mönchen des Mahayana-Buddhismus gepflegt, die eine eigene Scholastik entwickelten. Die bedeutendsten Logiker sind Vasubandhu (4. Jh.), Dignaga (ca. 480 – 540 n. Chr.) und Dharmakirti (7. Jh. n. Chr.), und die moderne Periode (ab 900 n. Chr.) dominierten Gangeśa (13. Jh. n. Chr.) und das Navya-Nyaya (Neues Nyaya, die „neue logische Schule“).[18]

Die chinesische Tradition der Logik beginnt im 5 Jh. v. Chr. mit Mozi, der die mohistische Logik begründete.[19] Von den altchinesischen philosophischen Schulen der Neun Strömungen befasste sich dann besonders die aus dem Mohismus hervorgegangene Schule der Namen, etwa der Philosoph Hui Shi, mit logischen Fragen. Nach dem Eindringen des Buddhismus in China wurden im 7. Jahrhundert n. Chr. auch Schriften von Dignaga von Xuanzang und seinen Mitarbeitern ins Chinesische übersetzt. Insgesamt hat sich die Logik in der chinesischen Philosophie aber trotz der Anregungen aus Indien nicht so weit entwickelt wie in Europa, Indien und Japan.

Aus der japanischen Rezeption des Buddhismus über chinesische und indische Quellen entwickelte sich im 8. Jahrhundert n. Chr., vor allem in der buddhistischen Scholastik (zumal in der Sanron-shū), eine hochdifferenzierte und qualitativ die indischen Vorgaben sogar übersteigende Tradition des Nachdenkens über Logik.[20]

Die Logik im islamischen Raum hat ihre klassische Phase im Mittelalter. Sie wurde stark durch die aristotelische Logik beeinflusst und wirkte selbst wiederum auf die mittelalterliche europäische Logik zurück. Während der Blütezeit des Islams baute Abū Yaʿqūb ibn Ishāq al-Kindī (latinisiert Alkindus, ca. 800–873) seine Philosophie zunächst auf der Mathematik auf. Al-Kindī ließ zahlreiche Werke von Aristoteles und anderen griechischen Philosophen durch Mitarbeiter, die zum Teil griechisch-christlicher Herkunft waren, übersetzen. Er gilt als erster großer Philosoph und Logiker des Islams und war einer der Begründer einer mathematischen Denkweise in der Philosophie. Weitere Hauptvertreter waren Abu Nasr al-Farabi (latinisiert Alpharabius oder Avenassarca, 870–950), Abū Alī al-Husain ibn Abd Allāh ibn Sīnā (genannt Avicenna, 980–1037)[21] und Abū l-Walīd Muhammad ibn Ahmad Ibn Ruschd (latinisiert Averroes, 1126–1198).