Krümmung

Animationen der Krümmung und des „Beschleunigungsvektors“ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}/\mathrm {d} s^{2}}$

${\displaystyle {\vec {r}}(s)\in \mathbb {R} ^{p}}$ sei der Ortsvektor eines Punktes auf der Kurve als Funktion der Bogenlänge ${\displaystyle s}$. Die Krümmung ${\displaystyle {\kappa \,}}$ der Kurve ist dann definiert als

${\displaystyle \kappa =\left|{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} s^{2}}}\right|.}$

Die Krümmung ist also durch den Betrag der Ableitung des Einheitstangentenvektors ${\displaystyle {\vec {t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} s}}}$ nach der Bogenlänge gegeben und gibt damit an, wie schnell sich beim Durchlaufen der Kurve die Tangentenrichtung in Abhängigkeit von der Bogenlänge ändert. Die Krümmung in einem Punkt der Kurve ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung nach der Bogenlänge.

Für ebene Kurven kann man die Krümmung mit Vorzeichen bezüglich einer Orientierung des Normalenbündels der Kurve definieren. Eine solche Orientierung ist gegeben durch ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld ${\displaystyle {\vec {N}}}$ längs der Kurve. Es existiert stets, da jede ebene Kurve orientierbar ist. Ist die Krümmung ungleich null, dann ist die Krümmung mit Vorzeichen durch das Skalarprodukt

${\displaystyle \kappa ={\vec {N}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {t}}}{\mathrm {d} s}}}$

definiert. Die Krümmung ist also positiv, wenn sie sich in Richtung von ${\displaystyle {\vec {N}}}$ krümmt (d. h. wenn ${\displaystyle {\vec {N}}}$ gleich dem Hauptnormaleneinheitsvektor ${\displaystyle {\vec {n}}={\frac {{\vec {t}}\,'}{|{\vec {t}}\,'|}}}$ mit ${\displaystyle {\vec {t}}\,':={\frac {\mathrm {d} {\vec {t}}}{\mathrm {d} s}}}$ ist) und negativ, wenn sie sich in die entgegengesetzte Richtung krümmt (d. h. wenn ${\displaystyle {\vec {N}}=-{\vec {n}}}$ gilt). Die Definition ist wieder unabhängig von der Parametrisierung nach der Bogenlänge, aber das Vorzeichen ist abhängig von der Wahl von ${\displaystyle {\vec {N}}}$ längs der Kurve. Der Betrag ${\displaystyle |\kappa |}$ liefert die oben gegebene Definition der Krümmung ohne Vorzeichen.

Einer regulär parametrisierten Kurve in der Ebene lässt sich über die Durchlaufrichtung eine Orientierung zuordnen. Ist zusätzlich eine Orientierung der Ebene vorgegeben, so wird dadurch eine Orientierung auf dem Normalenbündel induziert. Dazu sei ${\displaystyle {\vec {N}}(s)}$ der Einheitsnormalenvektor, so dass die geordnete Basis ${\displaystyle ({\vec {t}}(s),{\vec {N}}(s))}$ positiv orientiert ist. Damit wird das Vorzeichen der Krümmung einer parametrisierten Kurve abhängig von der Orientierung der Ebene und dem Durchlaufsinn der parametrisierten Kurve. In einer Linkskurve ist ${\displaystyle \kappa }$ positiv und in einer Rechtskurve negativ.

Einer Kurve ${\displaystyle C=f^{-1}(0)}$, die als Nullstellenmenge einer Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ mit regulärem Wert ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} }$ gegeben ist, kann die Krümmung mit Vorzeichen bezüglich des auf die Kurve eingeschränkten normierten Gradientenfeldes ${\displaystyle {\vec {N}}=\left.{\frac {\nabla f}{|\nabla f|}}\right|_{C}}$ zugeordnet werden.

Der Krümmungskreis ist der eindeutig bestimmte Kreis, dessen Kontaktordnung mit der Kurve im Berührungspunkt ${\displaystyle \geq 2}$ ist. Die Krümmung in einem Punkt ist genau dann gleich null, wenn dort die Kontaktordnung mit der Tangente ${\displaystyle \geq 2}$ ist. Die Evolute einer Kurve ist die Ortskurve ihrer Krümmungsmittelpunkte. Man erhält einen Krümmungsmittelpunkt als den Grenzwert von Schnittpunkten zweier Normalen, die sich einander annähern. Nach Cauchy kann damit die Krümmung einer ebenen Kurve definiert werden.[1]

Die Krümmung einer Raumkurve ist wie die Windung eine bewegungsinvariante Größe, die den lokalen Verlauf einer Kurve beschreibt. Beide Größen kommen als Koeffizienten in den frenetschen Formeln vor.

Ist ${\displaystyle \kappa }$ die Krümmung mit Vorzeichen für eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve in der orientierten Ebene, dann gelten die folgenden Gleichungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} {\vec {t}}}{\mathrm {d} s}}&=&\kappa {\vec {N}}\\{\frac {\mathrm {d} {\vec {N}}}{\mathrm {d} s}}&=-\kappa {\vec {t}}&\end{aligned}}}$

Jede der beiden Gleichungen ist äquivalent zur Definition der Krümmung mit Vorzeichen für parametrisierte Kurven. In kartesischen Koordinaten bedeuten die Gleichungen, dass ${\displaystyle {\vec {t}}}$ und ${\displaystyle {\vec {N}}}$ ein Fundamentalsystem von Lösungen für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${\displaystyle {\vec {x}}'(s)=\kappa (s){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}(s)}$

bilden, deren Lösung durch

${\displaystyle {\vec {x}}(s)={\begin{pmatrix}\cos \varphi (s)&-\sin \varphi (s)\\\sin \varphi (s)&\cos \varphi (s)\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}(s_{0})}$

mit

${\displaystyle \varphi (s)=\int _{s_{0}}^{s}\kappa ({\bar {s}})d{\bar {s}}}$

gegeben ist. Aus der Abbildung ${\displaystyle s\mapsto {\vec {t}}(s)}$ wiederum erhält man durch Integration die Parametrisierung ${\displaystyle s\mapsto {\vec {r}}(s)}$ der Kurve nach der Bogenlänge. Die Vorgabe eines Startpunktes ${\displaystyle {\vec {r}}(s_{0})}$, einer Startrichtung ${\displaystyle {\vec {t}}(s_{0})}$ und der Krümmung ${\displaystyle s\mapsto {\vec {\kappa }}(s)}$ als Funktion der Bogenlänge bestimmt also die Kurve eindeutig. Da ${\displaystyle {\vec {t}}(s)}$ durch eine Drehung von ${\displaystyle {\vec {t}}(s_{0})}$ um den Winkel ${\displaystyle \varphi (s)}$ gegeben ist, folgt weiterhin, dass sich zwei Kurven mit derselben Krümmungsfunktion nur durch eine eigentliche Bewegung in der Ebene unterscheiden. Außerdem folgt aus diesen Betrachtungen, dass die Krümmung mit Vorzeichen durch

${\displaystyle \kappa ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} s}}}$

gegeben ist, wobei ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$ der Winkel des Tangentenvektors zu einer festen Richtung ist und wachsend im positiven Drehsinn gemessen wird.

Schränkt man die Parametrisierung einer ebenen Kurve in der Umgebung eines Kurvenpunktes ${\displaystyle p}$ so ein, dass sie injektiv ist, dann kann man jedem Kurvenpunkt ${\displaystyle q={\vec {r}}(s)}$ eindeutig den Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {N}}(s)}$ zuordnen. Diese Zuordnung kann man als Abbildung von der Kurve in den Einheitskreis auffassen, indem man den Normalenvektor an den Ursprung des Koordinatensystems anheftet. Zu einem Kurvenstück der Länge ${\displaystyle \Delta s}$, das den Punkt ${\displaystyle p}$ enthält, gehört dann ein Kurvenstück auf dem Einheitskreis der Länge ${\displaystyle \Delta {\tilde {s}}}$. Für die Krümmung im Punkt ${\displaystyle p}$ gilt dann

${\displaystyle \kappa =\lim _{\Delta s\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\tilde {s}}}{\Delta s}}.}$

Diese Idee kann auf Flächen im Raum übertragen werden, indem man ein Einheitsnormalenvektorfeld auf der Fläche als Abbildung in die Einheitskugel auffasst. Diese Abbildung bezeichnet man als Gauß-Abbildung. Betrachtet man das Verhältnis von Flächeninhalten anstelle der Bogenlängen und versieht dabei das Flächenstück in der Einheitskugel mit einem Vorzeichen, abhängig davon, ob die Gauß-Abbildung den Umlaufsinn der Randkurve bewahrt oder umkehrt, dann liefert das die ursprüngliche Definition der gaußschen Krümmung durch Gauß. Allerdings ist die gaußsche Krümmung eine Größe der intrinsischen Geometrie, während eine Kurve keine intrinsische Krümmung besitzt, denn jede Parametrisierung nach der Bogenlänge ist eine lokale Isometrie zwischen einer Teilmenge der reellen Zahlen und der Kurve.

Betrachtet man eine normale Variation ${\displaystyle {\vec {r}}_{\varepsilon }(t):={\vec {r}}(t)+\varepsilon {\vec {N}}(t)}$, ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$, einer parametrisierten ebenen Kurve auf einem Parameterintervall ${\displaystyle \Delta t}$ und bezeichnet mit ${\displaystyle \Delta s_{\varepsilon }}$ die Bogenlänge des variierten Kurvenstücks, dann gilt für die Krümmung mit Vorzeichen bezüglich ${\displaystyle {\vec {N}}}$:

${\displaystyle \kappa =-\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta s_{0}}}\left.{\frac {\mathrm {d} \Delta s_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}.}$

Die Krümmung in einem Punkt gibt also an, wie schnell sich die Bogenlänge eines infinitesimalen Kurvenstückes in diesem Punkt bei einer normalen Variation ändert. Auf Flächen im Raum übertragen führt dies auf den Begriff der mittleren Krümmung. Der entsprechende Grenzwert mit Flächeninhalten anstelle von Kurvenlängen liefert dann die zweifache mittlere Krümmung.

Diese Charakterisierung der Krümmung einer ebenen Kurve gilt auch dann, wenn man allgemeiner die Variation ${\displaystyle {\vec {r}}_{\varepsilon }(t):={\vec {\varphi }}({\vec {r}}(t),\varepsilon )}$ durch den lokalen Fluss ${\displaystyle {\vec {\varphi }}}$ eines Vektorfeldes ${\displaystyle {\vec {V}}}$ (d. h. ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial \varepsilon }}{\vec {\varphi }}({\vec {r}},\varepsilon )={\vec {V}}({\vec {\varphi }}({\vec {r}},\varepsilon ))}$) mit ${\displaystyle {\vec {V}}({\vec {r}}(t))={\vec {N}}(t)}$ betrachtet. Man erhält

${\displaystyle \kappa =-{\vec {t}}^{T}\cdot J_{\vec {V}}\cdot {\vec {t}}=-\nabla \cdot {\vec {V}}+{\vec {N}}^{T}\cdot J_{\vec {V}}\cdot {\vec {N}},}$

mit der Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{\vec {V}}}$ und der Divergenz ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {V}}}$ des Vektorfeldes. Als Anwendung erhält man die folgende Formel für die Krümmung mit Vorzeichen bezüglich des normierten Gradientenfeldes ${\displaystyle {\vec {V}}={\frac {\nabla f}{|\nabla f|}}}$ längs einer Kurve, die als Nullstellenmenge ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ einer Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ gegeben ist (der Beitrag zweiter Ordnung in Richtung ${\displaystyle {\vec {N}}}$ verschwindet):

${\displaystyle \kappa =-\nabla \cdot {\vec {V}}=-\nabla \cdot {\frac {\nabla f}{|\nabla f|}}=-{\vec {N}}^{T}\cdot ({\tilde {H}}_{f}-\operatorname {sp} ({\tilde {H}}_{f})E)\cdot {\vec {N}},}$

wobei ${\displaystyle {\tilde {H}}_{f}:=-{\tfrac {H_{f}}{|\nabla f|}}}$ mit der Hesse-Matrix ${\displaystyle H_{f}}$, ${\displaystyle \operatorname {sp} ({\tilde {H}}_{f})}$ die Spur und ${\displaystyle E}$ die Einheitsmatrix ist. Für Abbildungen ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ liefert diese Formel die zweifache mittlere Krümmung von Flächen als Nullstellenmengen im Raum und wird als Formel von Bonnet bezeichnet. Ausgeschrieben und in eine andere Form gebracht lautet die Formel im Fall ebener Kurven:

${\displaystyle \kappa =-{\frac {f_{y}^{2}f_{xx}-2f_{x}f_{y}f_{xy}+f_{x}^{2}f_{yy}}{(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})^{3/2}}}={\vec {N}}^{T}\cdot \operatorname {adj} ({\tilde {H}}_{f})\cdot {\vec {N}}.}$

Dabei bezeichnet z. B. ${\displaystyle f_{x}}$ die partielle Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach dem ersten Argument und ${\displaystyle \operatorname {adj} ({\tilde {H}}_{f})}$ die Adjunkte von ${\displaystyle {\tilde {H}}_{f}}$. Für Abbildungen ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ liefert der zweite Ausdruck die Gaußsche Krümmung für Flächen als Nullstellenmengen im Raum.

Die oben gegebene Definition setzt eine Parametrisierung der Kurve nach der Bogenlänge voraus. Durch Umparametrisierung erhält man daraus eine Formel für beliebige reguläre Parametrisierungen ${\displaystyle t\mapsto {\vec {r}}(t)\in \mathbb {R} ^{p}}$. Fasst man die ersten beiden Ableitungen von ${\displaystyle {\vec {r}}}$ als Spalten einer Matrix ${\displaystyle A(t)=({\vec {r}}'(t),{\vec {r}}''(t))}$ zusammen, dann lautet die Formel

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {\det(A^{T}\cdot A)}}{|{\vec {r}}'|^{3}}}}$.

Für ebene Kurven ist ${\displaystyle A(t)}$ eine quadratische Matrix und die Formel vereinfacht sich mit Hilfe der Produktregel für Determinanten zu

${\displaystyle \kappa ={\frac {|\det A|}{|{\vec {r}}'|^{3}}}}$.

Ist die Ebene durch den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit der Standardorientierung gegeben, dann erhält man die Formel für die Krümmung mit Vorzeichen durch Weglassen der Betragsstriche im Zähler.

Ist die Parametrisierung durch die Komponentenfunktionen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ gegeben, dann liefert die Formel für die Krümmung mit Vorzeichen im Punkt ${\displaystyle {\vec {r}}(t)=(x(t),y(t))}$ den Ausdruck

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {{\dot {x}}(t){\ddot {y}}(t)-{\ddot {x}}(t){\dot {y}}(t)}{{\big (}{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}{\big )}^{3/2}}}}$.

(Die Punkte bezeichnen dabei Ableitungen nach ${\displaystyle t}$.)

Das liefert die folgenden Spezialfälle:

Fall 1

Die Kurve ist der Graph einer Funktion ${\displaystyle f}$. Die Krümmung im Punkt ${\displaystyle {\vec {r}}(x)=\left(x,f(x)\right)}$ ergibt sich aus

${\displaystyle \kappa (x)={\frac {f''(x)}{\left(1+f'(x)^{2}\right)^{3/2}}}}$.

Fall 2

Die Kurve ist in Polarkoordinaten gegeben, also durch eine Gleichung ${\displaystyle r=f(\varphi )}$. In diesem Fall erhält man für die Krümmung im Punkt ${\displaystyle {\vec {r}}(\varphi )=f(\varphi )\cdot (\cos \varphi ,\sin \varphi )}$ die Formel

${\displaystyle \kappa (\varphi )={\frac {(f(\varphi ))^{2}+2(f'(\varphi ))^{2}-f(\varphi )f''(\varphi )}{\left[(f(\varphi ))^{2}+(f'(\varphi ))^{2}\right]^{3/2}}}}$.

Für Kurven im dreidimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ kann man die allgemeine Formel mit Hilfe des Kreuzproduktes folgendermaßen ausdrücken:

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {|{\vec {r}}\,'(t)\times {\vec {r}}\,''(t)|}{|{\vec {r}}\,'(t)|^{3}}}}$