Geosynchrone Umlaufbahn

Geosynchrone Umlaufbahnen besitzen Inklinationswinkel von 0° (geostationär) über 90° (Polarbahn) bis 180° (retrograd, d. h. Gegenläufigkeit zur Erddrehung).

Um einen Körper der Masse ${\displaystyle m}$ mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega }$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius ${\displaystyle r}$ zu halten, ist eine Zentripetalkraft der Stärke

${\displaystyle F_{1}=m\omega ^{2}r}$

erforderlich. Auf einer Kreisbahn um einen Planeten ist die Schwerkraft näherungsweise die einzige wirkende Kraft. Im Abstand ${\displaystyle r}$ – vom Mittelpunkt des Planeten ausgehend – kann sie mit der Formel

${\displaystyle F_{2}={\frac {GMm}{r^{2}}}}$

berechnet werden. Dabei bezeichnet ${\displaystyle G}$ die Gravitationskonstante und ${\displaystyle M}$ die Masse des Planeten.

Da die Schwerkraft also die einzige Kraft ist, die den Körper auf der Kreisbahn hält, muss ihr Wert der Zentripetalkraft entsprechen. Es gilt also:

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

Es ergibt sich durch Einsetzen:

${\displaystyle m\omega ^{2}r={\frac {GMm}{r^{2}}}}$

Auflösen nach ${\displaystyle r}$ ergibt:

${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{G{\frac {M}{\omega ^{2}}}}}}$

Die Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ ergibt sich aus der Umlaufdauer ${\displaystyle t}$ als:

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{t}}}$

Einsetzen in die Formel für ${\displaystyle r}$ ergibt:

${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{{\frac {G}{4\pi ^{2}}}Mt^{2}}}}$

Diese Formel bestimmt nun den Radius der geostationären Umlaufbahn eines Massenschwerpunktes vom Mittelpunkt des betrachteten Planeten ausgehend.

Um die Entfernung der Bahn von der Oberfläche des Planeten – also beispielsweise die Höhe eines geostationären Satelliten über der Erdoberfläche – zu erhalten, muss dessen Radius vom Ergebnis subtrahiert werden. Somit haben wir:

${\displaystyle h={\sqrt[{3}]{{\frac {G}{4\pi ^{2}}}Mt^{2}}}-R_{P}}$

wobei ${\displaystyle R_{P}}$ den Radius des Planeten bezeichnet.

Wenn der Planet einen Trabanten (z. B. Mond) mit bekannten Bahndaten hat, lässt sich alternativ auch das Dritte Keplersche Gesetz

${\displaystyle {\frac {T_{\text{Sat}}^{2}}{T_{\text{Mond}}^{2}}}={\frac {r_{\text{Sat}}^{3}}{r_{\text{Mond}}^{3}}}}$

auf Trabant und geostationären Satellit anwenden.

Im Beispiel eines irdischen Satelliten können die Bahndaten des Erdmondes herangezogen werden (Umlaufdauer T_Mond ≈ 655 h, große Halbachse der Mondumlaufbahn r_Mond ≈ 384000 km, T_Sat = 23 h 56 min). Aufgelöst nach dem Bahnradius des geostationären Satelliten, die wegen der Kreisbahn gleich dem Bahnradius ist, ergibt sich damit:

${\displaystyle r_{\text{Sat}}={\sqrt[{3}]{\frac {r_{\text{Mond}}^{3}\cdot T_{\text{Sat}}^{2}}{T_{\text{Mond}}^{2}}}}\approx 42000\,\mathrm {km} }$

Die Höhe über der Oberfläche des Planeten, hier der Erde, erhält man wieder durch Subtraktion des Planetenradius.

Aus dem 3. Keplerschen Gesetz

${\displaystyle {\frac {T_{\text{Sat1}}^{2}}{T_{\text{Sat2}}^{2}}}={\frac {r_{\text{Sat1}}^{3}}{r_{\text{Sat2}}^{3}}}}$

folgt, dass alle geosynchronen Satelliten wegen ${\displaystyle T_{\text{Sat1}}=T_{\text{Sat2}}=T_{\text{Tag}}}$ die gleiche große Halbachse haben.

Umlaufgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Bahnhöhe

Die Idee eines geostationären Satelliten wurde zuerst von Herman Potočnik in seinem 1928 erschienenen Buch Das Problem der Befahrung des Weltraums – der Raketenmotor veröffentlicht.

Im Jahre 1945 schlug der Science-Fiction-Autor Arthur C. Clarke vor, Satelliten auf einer geostationären Umlaufbahn zu positionieren. Mit drei Satelliten, jeweils um 120° versetzt, wäre eine weltweite Radiokommunikation möglich. Er nahm an, dass Satelliten dort innerhalb der nächsten 25 Jahre positioniert werden könnten. Mit Syncom 2 im Jahre 1963 in der geosynchronen und Syncom 3 im Jahre 1964 in der geostationären Umlaufbahn wurde seine Idee deutlich zügiger verwirklicht, nach etwa 19 Jahren.

Das Bild rechts zeigt das Diagramm, in dem Clarke seine Überlegungen in der Zeitschrift Wireless World zum ersten Mal der Öffentlichkeit vorstellte.[1]

• Liste der geostationären Satelliten

• Orbit eines Satelliten im GEO (Memento vom 2. März 2009 im Internet Archive)
• Buchscan: Das Problem der Befahrung des Weltraums. Der Raketen-Motor. von Herman Potočnik alias Hermann Noordung. abgerufen am 21. Januar 2020

1. The 1945 Proposal by Arthur C. Clarke for Geostationary Satellite Communications