Geometrische Stetigkeit

Eine ebene Kurve wird in der Regel als Bild eines reellen Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$ bezüglich einer stetigen Funktion ${\displaystyle \mathbf {c} }$ erklärt. Diese Definition liefert eine

• Parameterdarstellung ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {c} (t)=(x(t),y(t)),\ t\in [a,b]}$.

Ist die Funktion ${\displaystyle \mathbf {c} }$ n-mal stetig differenzierbar, so heißt die Kurve ${\displaystyle C^{n}}$-stetig oder Kurve der Klasse ${\displaystyle C^{n}}$.

• Eine ${\displaystyle C^{1}}$-Kurve heißt regulär, wenn in jedem Punkt der Tangentenvektor ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(t)\neq \mathbf {0} }$ ist.

Beispiele:

1. ${\displaystyle x=\mathbf {c} (t)=(2\cos t,2\sin t),0\leq t<2\pi }$ ist der Kreis mit Radius 2 und Mittelpunkt im Nullpunkt. Da ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(t)=(-2\sin t,2\cos t)\neq (0,0)}$ gilt, ist diese Darstellung regulär.
2. ${\displaystyle x=\mathbf {c} (t)=(t,t^{2}),t\in [-1,1]}$ ist ein Teil der Normalparabel ${\displaystyle y=x^{2}}$. Da ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(t)=(1,2t)\neq (0,0)}$ ist die Darstellung regulär.
3. ${\displaystyle x=\mathbf {c} (t)=(t^{3},t^{6}),t\in [-1,1]}$ ist ein Teil der Normalparabel ${\displaystyle y=x^{2}}$. Da ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(t)=(3t^{2},6t^{5})=(0,0)}$ ist für ${\displaystyle t=0}$, ist die Darstellung nicht regulär.

Im Sonderfall ${\displaystyle x(t)=t}$ lässt sich die Kurve als Graph der Funktion ${\displaystyle y(t)}$ darstellen. Eine solche Darstellung nennt man explizit und schreibt ${\displaystyle y=f(x)}$, wobei ${\displaystyle f(x)=y(x)}$ ist:

• explizite Darstellung ${\displaystyle y=f(x)}$.

Ist ${\displaystyle f}$ eine ${\displaystyle C^{1}}$-Funktion, so ist diese Darstellung immer regulär.

Beispiele:

1. ${\displaystyle y={\sqrt {4-x^{2}}},-2\leq x\leq 2}$ ist der obere Halbkreis mit Radius 2 und Mittelpunkt im Nullpunkt. Der ganze Kreis lässt sich nicht explizit darstellen.
2. ${\displaystyle y=x^{2},\ -1\leq x\leq 1}$ ist ein Teil der Normalparabel.

Eine dritte, wesentliche Darstellung einer ebenen Kurve ist die implizite Darstellung. Dabei wird die Kurve als Teil der Lösungsmenge einer Gleichung ${\displaystyle F(x,y)=0}$ aufgefasst. Die Rechtfertigung hierfür liefert der Satz von der impliziten Funktion. Er besagt, dass unter gewissen Voraussetzungen eine Gleichung ${\displaystyle F(x,y)=0}$ lokal nach y oder x aufgelöst werden kann, d. h., es existiert lokal eine explizite Darstellung.

• implizite Darstellung ${\displaystyle F(x,y)=0}$.

Eine implizite Darstellung ${\displaystyle F(x,y)=0}$ einer Kurve ist regulär, wenn ${\displaystyle F}$ in jedem Punkt der Kurve differenzierbar ist und ${\displaystyle (F_{x}(x,y),F_{y}(x,y))\neq (0,0)}$ gilt.

Beispiele:

1. ${\displaystyle F(x,y)=x^{2}+y^{2}-4=0}$ beschreibt implizit den Kreis mit Radius 2 und Mittelpunkt im Nullpunkt.
2. ${\displaystyle F(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-2=0}$ beschreibt implizit den Kreis mit Radius 2 und Mittelpunkt im Nullpunkt.
3. ${\displaystyle F(x,y)=x^{2}-y=0}$ beschreibt implizit die Normalparabel.

Eine ebene Kurve lässt sich also mit Hilfe verschiedener Darstellungen beschreiben.

Für das Zusammensetzen von Kurven (geometrisches Modellieren) spielen nur die geometrischen Eigenschaften Tangente, Krümmung, … eine Rolle. Also benötigt man hierfür geeignete Formeln.

Die Tangente in einem Kurvenpunkt ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ kann parametrisiert dargestellt werden durch

• ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +u\mathbf {r} }$ mit einem geeigneten Richtungsvektor ${\displaystyle \mathbf {r} }$.

Ein Richtungsvektor einer in einem Punkt einer

• parametrisierten regulären Kurve ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {c} (t)=(x(t),y(t))}$ ist ${\displaystyle \mathbf {r} ={\dot {c}}(t)=({\dot {x}}(t),{\dot {y}}(t))}$,
• expliziten Kurve ${\displaystyle y=f(x)}$ ist ${\displaystyle \mathbf {r} =(1,f'(x))}$,
• impliziten Kurve ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ist ${\displaystyle \mathbf {r} =(-F_{y}(x,y),F_{x}(x,y))}$.

Die Krümmung ${\displaystyle \kappa }$ einer ebenen Kurve gibt an wie schnell sich die Einheitstangente entlang der Kurve verändert. Bei einer Gerade ist die Krümmung ${\displaystyle \kappa =0}$, bei einem Kreis mit Radius r ist die Krümmung ${\displaystyle \kappa =1/r}$. Bei einer ebenen Kurve gibt es nur zwei mögliche Richtungen, in denen sich eine Kurve krümmen kann: links oder rechts. Der Betrag der Krümmung

• einer parametrisierten Kurve ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ ist ${\displaystyle \kappa (t)={\frac {{\dot {x}}(t){\ddot {y}}(t)-{\ddot {x}}(t){\dot {y}}(t)}{{\big (}{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}{\big )}^{3/2}}}}$,

• einer expliziten Kurve ${\displaystyle y=f(x)}$ ist ${\displaystyle \kappa (x)={\frac {f''(x)}{\left(1+f'(x)^{2}\right)^{3/2}}}}$,

• einer impliziten Kurve ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ist ${\displaystyle \kappa =-{\frac {F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}.}$

Definition: Zwei reguläre ebene parametrisierte Kurven ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {c} _{1}(t),\ \mathbf {x} =\mathbf {c} _{2}(t)}$ haben ${\displaystyle C^{n}}$-Kontakt in einem gemeinsamen Punkt ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$, falls die Ableitungen der Funktionen ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}}$ bis zur Ordnung n im Punkt ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ übereinstimmen.

Analog definiert man den ${\displaystyle C^{n}}$-Kontakt von zwei expliziten bzw. impliziten Kurven.