Banachalgebra

Eine Banach-*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (über ${\displaystyle \mathbb {C} }$) ist eine Banachalgebra über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ zusammen mit einer Involution ${\displaystyle ^{*}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},\,a\mapsto a^{*}}$, so dass

In anderen Worten, eine Banach-*-Algebra ist eine Banachalgebra und zugleich eine *-Algebra mit einer isometrischen Involution. Manche Autoren lassen die Bedingung der Isometrie fort und sprechen dann gegebenenfalls von einer Banach-*-Algebra mit isometrischer Involution. Die meisten in natürlicher Weise auftretenden Involutionen auf Banachalgebren sind allerdings isometrisch.

Die Banachalgebra ${\displaystyle B(H)}$ der stetigen linearen Operatoren über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ motiviert die folgende Definition: Eine Banachalgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, auf der zusätzlich eine semilineare antimultiplikative Involution ${\displaystyle *\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},x\mapsto x^{*}}$ gegeben ist, heißt C*-Algebra, wenn die sogenannte C*-Bedingung erfüllt ist:

• ${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|^{2}}$ für alle ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$

Solche Banachalgebren lassen sich auf Hilberträumen darstellen. Sind diese dann in einer gewissen Topologie in der Operatorenalgebra über dem Hilbertraum abgeschlossen, so nennt man sie Von-Neumann-Algebren.

Viele der oben genannten Beispiele sind Banachalgebren ohne ein Einselement. Wird dennoch ein Einselement benötigt, so kann man eines adjungieren. In vielen Fällen gibt es in diesen Banachalgebren Approximationen der Eins; dies ist ein topologisches Konstrukt, das oft einen Ersatz für das fehlende Einselement darstellt. Das gilt insbesondere für C*-Algebren und die Gruppenalgebren ${\displaystyle L^{1}(G)}$.

Ist ${\displaystyle A}$ eine Banachalgebra mit Einselement 1, so ist die Gruppe ${\displaystyle A^{\times }}$ der invertierbaren Elemente offen. Ist nämlich ${\displaystyle b\in A}$ invertierbar und ${\displaystyle a\in A}$ mit ${\displaystyle \|a-b\|<{\tfrac {1}{\|b^{-1}\|}}}$, so ist auch ${\displaystyle a}$ invertierbar, denn leicht überlegt man sich, dass ${\displaystyle \textstyle b^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }((b-a)b^{-1})^{n}}$ konvergiert und das Inverse zu ${\displaystyle a}$ ist. Ferner ist das Invertieren ${\displaystyle a\mapsto a^{-1}}$ als Abbildung auf der Gruppe der invertierbaren Elemente stetig. Daher ist ${\displaystyle A^{\times }}$ eine topologische Gruppe.

In der linearen Algebra spielt die Menge der Eigenwerte einer Matrix eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der Matrizen, d. h. der Elemente der Banachalgebra ${\displaystyle B({\mathbb {K} }^{n})}$. Dies verallgemeinert sich zum Begriff des Spektrums:

Sei ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement. Für ${\displaystyle a\in A}$ ist das Spektrum von ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \sigma (a):=\{\lambda \in {\mathbb {C} }:a-\lambda \cdot 1\notin A^{\times }\}}$, kompakt und nach dem Satz von Gelfand-Mazur nicht leer. Für den Spektralradius ${\displaystyle r(a):=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (a)\}}$ gilt die Formel ${\displaystyle \textstyle r(a)=\lim _{n\to \infty }\|a^{n}\|^{1/n}}$. Diese Formel ist erstaunlich, da der Spektralradius eine rein algebraische Größe ist, die lediglich den Begriff der Invertierbarkeit verwendet, die rechte Seite der Spektralradiusformel hingegen ist durch die Norm der Banachalgebra gegeben.

Für den Rest dieses Abschnitts sei ${\displaystyle A}$ kommutativ mit Einselement. Die Menge ${\displaystyle X_{A}}$ aller multiplikativen Funktionale ${\displaystyle A\to \mathbb {C} }$ bezeichnet man als das Spektrum von ${\displaystyle A}$, oder nach Gelfand auch als Gelfand-Spektrum oder Gelfand-Raum von ${\displaystyle A}$. Das Spektrum von ${\displaystyle A}$ ist ein kompakter Raum und die Gelfand-Transformation vermittelt einen Homomorphismus ${\displaystyle A\rightarrow C(X_{A})}$ von ${\displaystyle A}$ in die Banachalgebra der stetigen komplexwertigen Funktionen auf ${\displaystyle X_{A}}$. Jedem Element ${\displaystyle a\in A}$ wird so eine stetige Funktion ${\displaystyle {\hat {a}}\colon X_{A}\to \mathbb {C} }$ zugeordnet, wobei ${\displaystyle {\hat {a}}(\varphi )=\varphi (a)}$. Das Spektrum eines Elementes ${\displaystyle a\in A}$ und das Spektrum der Algebra hängen dann über die Formel ${\displaystyle \sigma (a)={\hat {a}}(X_{A})}$ zusammen. Das ist im Artikel über die Gelfand-Transformation ausgeführt.

Sei ${\displaystyle A}$ eine kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement. Ist ${\displaystyle \varphi \in X_{A}}$, so ist ${\displaystyle \ker(\varphi )\subset A}$ ein maximales Ideal (mit Kodimension 1). Ist umgekehrt ${\displaystyle M\subset A}$ ein maximales Ideal, so ist der Abschluss ${\displaystyle {\overline {M}}}$ wegen der Offenheit der Gruppe der invertierbaren Elemente ein echtes Ideal, also muss ${\displaystyle {\overline {M}}=M}$ gelten. Dann ist die Quotientenalgebra ${\displaystyle A/M}$ eine Banachalgebra, die ein Körper ist, und dieser muss nach dem Satz von Gelfand-Mazur isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sein. Daher ist die Quotientenabbildung ${\displaystyle A\rightarrow A/M\cong \mathbb {C} }$ ein multiplikatives Funktional mit Kern ${\displaystyle M}$. Bezeichnet man also die Menge der maximalen Ideale mit ${\displaystyle \operatorname {Max} (A)}$, so hat man eine bijektive Abbildung:

${\displaystyle X_{A}\to \operatorname {Max} (A),\,\,\,\varphi \mapsto \ker(\varphi )}$

Es besteht damit eine bijektive Beziehung zwischen der Teilmenge ${\displaystyle X_{A}}$ des Dualraums und der rein algebraisch definierten Menge der maximalen Ideale.