Gegenring

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Ring. Dann wird der Gegenring ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ (engl. opposite ring) wie folgt definiert:[1][2]

• Die unterliegende Menge von ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ ist ${\displaystyle R}$.
• Die Addition + auf ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ stimmt mit derjenigen auf ${\displaystyle R}$ überein.
• Die Multiplikation ${\displaystyle \circ }$ wird mittels der Multiplikation ${\displaystyle \cdot }$ von ${\displaystyle R}$ wie folgt definiert: ${\displaystyle a\circ b:=b\cdot a}$ für alle ${\displaystyle a,b\in R^{\operatorname {op} }}$.

${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ ist also im Wesentlichen der Ausgangsring, lediglich bei der Multiplikation wird gegenüber dem Ausgangsring die Reihenfolge der Faktoren vertauscht.

• Ist ${\displaystyle R}$ kommutativ, so ist offenbar ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }=R}$.
• Sätze über Linksideale in einem Ring ${\displaystyle R}$ sind Sätze über Rechtsideale in ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$. Daher gelten Sätze, die für alle Linksideale in allen Ringen gelten, auch für Rechtsideale in allen Ringen.
• Ist ${\displaystyle R}$ eine ${\displaystyle K}$-Algebra über einem Körper, so ist auch ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ eine solche Algebra, indem man für ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ dieselbe Vektorraumstruktur verwendet. Man spricht dann auch von der Gegenalgebra.
• Es sei ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n}(K)}$ die Algebra der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über einem Körper. Dann gilt für die Transposition ${\displaystyle A\mapsto A^{T}}$ bekanntlich die Regel ${\displaystyle (A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}}$. Das bedeutet, dass die Transposition ein Ringhomomorphismus ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n}(K)\rightarrow \mathrm {Mat} _{n}(K)^{\operatorname {op} }}$ ist, sogar ein Isomorphismus. Allgemeiner ist ein Antihomomorphismus ${\displaystyle R\rightarrow S}$ zwischen zwei Ringen ein Homomorphismus ${\displaystyle R\rightarrow S^{\operatorname {op} }}$ bzw. ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }\rightarrow S}$
• Im Allgemeinen sind ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$ nicht isomorph. Beispiele findet man dort, wo gewisse Links-rechts-Symmetrien nicht gelten. So gibt es zum Beispiel linksnoethersche Ringe, die nicht rechtsnoethersch sind; solche Ringe können nicht zu ihrem Gegenring isomorph sein.
• Ist ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle R}$-Linksmodul, so wird ${\displaystyle M}$ durch die Definition ${\displaystyle m\cdot a:=am,\,a\in R,m\in M}$ zu einem ${\displaystyle R^{\operatorname {op} }}$-Rechtsmodul.

1. Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Birkhäuser Verlag (2004), ISBN 3-0348-8962-3, Kapitel X, §8, Seite 331
2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 0.1.11