Gaußsches Maß

Ein borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \gamma }$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nennt man gaußsches Maß mit Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}\geq 0}$, falls

• im Fall ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ für jede Borelmenge ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ gilt

${\displaystyle \gamma _{a,\sigma ^{2}}(B)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{B}\mathrm {e} ^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\lambda (\mathrm {d} x)}$.

wobei ${\displaystyle \lambda }$ das Lebesgue-Maß bezeichnet.

• im Fall ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$ es das Dirac-Maß ${\displaystyle \gamma =\delta _{a}}$ ist.

Man nennt ein gaußsches Maß

• zentriert, wenn ${\displaystyle a=0}$ gilt.
• standard oder kanonisch, wenn ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$ gilt.
• degeneriert, wenn ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$ gilt.[1]

Ein borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \gamma ^{(d)}}$ auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ nennt man ${\displaystyle d}$-dimensionales gaußsches Maß, falls seine charakteristische Funktion von der Form

${\displaystyle {\widehat {\gamma }}^{(d)}(x)=\exp \left(i\langle x,a\rangle -{\frac {1}{2}}\langle Kx,x\rangle \right),\quad a\in \mathbb {R} ^{d}}$

ist, wobei ${\displaystyle K}$ eine symmetrische, positiv semidefinite Matrix ist.

Man nennt ein Borel-Maß ${\displaystyle \gamma ^{(d)}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, falls für jedes lineare Funktional ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ das Bildmaß ${\displaystyle \gamma ^{(d)}\circ f^{-1}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist.

Sei ${\displaystyle E}$ ein separabler topologischer Vektorraum, ${\displaystyle E'}$ sein topologischer Dualraum und ${\displaystyle \gamma }$ ein Borel-Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle E}$. Dann ist ${\displaystyle \gamma }$ ein gaußsches Maß, falls für jedes stetige lineare Funktional ${\displaystyle f\in E'}$ die Abbildung ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto \langle x,f\rangle }$ eine gaußsche Zufallsvariable ist.

Das heißt also, ${\displaystyle \gamma }$ ist ein gaußsches Maß auf der borelschen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$, falls für jedes stetige lineare Funktional ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle E}$ das Bildmaß ${\displaystyle (f^{*}\gamma ):=\gamma \circ f^{-1}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist.

Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Vektorraum und ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ die zylindrische σ-Algebra, d. h., die σ-Algebra wird durch ${\displaystyle X'}$ erzeugt, dann ist ${\displaystyle \gamma }$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle X}$, falls für jedes stetige lineare Funktional ${\displaystyle f\in X'}$ das Bildmaß ${\displaystyle (f^{*}\gamma ):=\gamma \circ f^{-1}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist.[2]

Sei ${\displaystyle E}$ ein Vektorraum, ${\displaystyle F}$ ein Raum von linearen Funktionen, welche die Punkte in ${\displaystyle E}$ separieren und ${\displaystyle {\mathcal {E}}(E,F)}$ die zylindrische σ-Algebra. Dann ist ${\displaystyle \gamma }$ ein gaußsches Maß, falls für jedes ${\displaystyle f\in F}$ die Abbildung ${\displaystyle \gamma \circ f^{-1}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist. Man kann zeigen, dass diese Definition äquivalent zur Definition auf lokalkonvexen Räumen ist.[2]

• Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Raum mit gaußschem Maß ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle f\in X'}$, dann hat die Fourier-Transformation von ${\displaystyle \gamma }$ folgende Form:

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(f)=\mathrm {e} ^{iL(f)-{\frac {1}{2}}B(f,f)}}$,

wobei ${\displaystyle L}$ ein lineares Funktional ist und ${\displaystyle B}$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle X'}$, so dass die quadratische Form ${\displaystyle f\mapsto B(f,f)}$ positiv ist. ${\displaystyle B}$ ist der Kovarianzoperator.

• Seien ${\displaystyle (X_{1},\mu _{1})}$ und ${\displaystyle (X_{2},\mu _{2})}$ zwei lokalkonvexe Räume mit jeweils einem gaußschen Maß, dann ist das Produkt-Maß ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$. Falls ${\displaystyle X_{1}=X_{2}}$, dann ist auch die Konvolution ${\displaystyle \mu _{1}*\mu _{2}}$ ein gaußsches Maß.[3]

Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Vektorraum mit borelscher σ-Algeba ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ und ${\displaystyle \gamma }$ einem Radon-Maß darauf. Dann ist ${\displaystyle \gamma }$ ein Radon-Gauß-Maß, falls die Restriktion von ${\displaystyle \gamma }$ auf die zylindrische σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ ein Gauß-Maß ist.

Nicht jedes Gauß-Maß ist auch ein Radon-Maß. Sei ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ der Folgenraum der beschränkten Folgen und ${\displaystyle {\ell ^{\infty }}'}$ sein topologischer Dualraum. David Fremlin und Michel Talagrand konstruierten ein Gauß-Maß auf der zylindrischen σ-Algeba ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\ell ^{\infty },{\ell ^{\infty }}')}$, welches den geschlossenen Bällen mit Radius ${\displaystyle 1}$ das Maß ${\displaystyle 0}$ zuordnet und deshalb nicht Radon ist.[4]

Sei ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$ der Raum aller stetigen Pfade ${\displaystyle \xi \colon [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle \xi (0)=0}$ und ${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }{\big |}{\tfrac {\xi (t)}{t}}{\big |}=0}$ ausgestattet mit der Borel-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}))}$. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$ ein separabler Banachraum ist.

Dann existiert darauf ein eindeutiges Maß, welches Wiener-Maß genannt wird und die ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-dimensionale brownschen Bewegung erzeugt.

• Sei ${\displaystyle \gamma _{n}:=\gamma _{0,1}}$ für alle ${\displaystyle n}$ ein Standard-gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dann ist das Produktmaß

${\displaystyle \gamma ^{(\infty )}=\bigotimes \limits _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}}$

ein zentriertes gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$.

• Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Raum mit gaußschem Maß ${\displaystyle \gamma }$ und weiter sei ${\displaystyle T=X'}$. Wir definieren die Einbettung ${\displaystyle i\colon X\to \mathbb {R} ^{T}}$ durch ${\displaystyle i(x)(f):=f(x)}$ für jedes ${\displaystyle f\in T}$. Dann ist das Bild von ${\displaystyle \gamma }$ unter ${\displaystyle i}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{T}}$.