Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum ist in der Stochastik und insbesondere im Malliavin-Kalkül ein Wahrscheinlichkeitsraum zusammen mit einem Hilbert-Raum zentrierter, reeller gaußscher Zufallsvariablen, welcher gaußscher Hilbert-Raum (oder gaußscher Raum) genannt wird. Wichtige Beispiele gaußscher Wahrscheinlichkeitsräume sind die abstrakten Wiener-Räume.

Die Terminologie ist in der Literatur nicht immer einheitlich, generell versteht man unter dem Begriff gaußscher Raum einen abgeschlossenen Unterraum des L²-Raumes, dessen Elemente zentrierte Gauß-Variablen sind. Manche Autoren bezeichnen aber auch allgemein Räume mit einem gaußschen Maß als gaußsche Räume. Wir folgen der Monographie ([1]) von Paul Malliavin.

Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ besteht aus

einem (vollständigen) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ,
einem abgeschlossenen Unterraum ${\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ , so dass alle $X\in {\mathcal {H}}$ zentrierte Gauß-Variablen sind, d. h. es gilt $X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ . Die σ-Algebra der Elemente in ${\mathcal {H}}$ notieren wir mit ${\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}$ .
einer σ-Algebra ${\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }$ der transversalen Zufallvariablen, welche durch die Beziehung

{\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }

definiert wird.[2]

Irreduzibilität

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum heißt irreduzibel, wenn ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}$ gilt. Irreduzible gaußsche Wahrscheinlichkeitsräume werden mit $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})$ notiert. Der Begriff der nicht-irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsräume wird aus zwei Gründen definiert:

Um auf Unterräumen arbeiten zu können.
Um den Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ erweitern zu können.

Ansonsten wählt man in der Regel einen irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum.[2]

Unterräume

Ein Unterraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp })$ eines gaußschen Wahrscheinlichkeitsraumes $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ besteht aus

einem abgeschlossenen Unterraum ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}$ von ${\mathcal {H}}$ ,
einer Teil-σ-Algebra ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }\subset {\mathcal {F}}$ der transversalen Zufallvariablen, so dass ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$ und ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}$ unabhängig sind und eine neue Produkt-σ-Algebra ${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}\otimes {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$ bilden. Des Weiteren soll gelten ${\mathcal {A}}\cap {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$ .[2]

Beispiel:

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum mit abgeschlossenem ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}$ . Sei nun $V$ das orthogonale Komplement von ${\mathcal {H}}_{1}$ in ${\mathcal {H}}$ . Orthogonalität impliziert Unabhängigkeit zwischen $V$ und ${\mathcal {H}}_{1}$ , also ist ${\mathcal {A}}_{V}$ unabhängig von ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}$ . Definiere nun ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }$ durch ${\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }:=\sigma ({\mathcal {A}}_{V},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })={\mathcal {A}}_{V}\vee {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }$ .

Bemerkung

Bemerke, für $G=L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp },P)$ gilt $L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=L^{2}((\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}},P);G)$ .

Fundamentalalgebra

Zu einem gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })$ definieren wir die Algebra der zylindrischen Zufallsvariablen der Form

\mathbb {A} _{\mathcal {H}}=\{F=P(X_{1},\dots ,X_{n}):X_{i}\in {\mathcal {H}}\}

wobei $P$ ein Polynom in $n$ Variablen ist und nennen $\mathbb {A} _{\mathcal {H}}$ die Fundamentalalgebra. Es gilt $\mathbb {A} _{\mathcal {H}}\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ für $p<\infty$ .

Für einen irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})$ gilt, dass $\mathbb {A} _{\mathcal {H}}$ eine dichte Menge in $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ für alle $p\in [1,\infty [$ ist.[3]

Numerisches Modell und Segal-Modell

Ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})$ mit einer gewählten Basis für ${\mathcal {H}}$ nennt man numerisches Modell. Zwei numerische Modelle sind isomorph, wenn ihre gaußschen Räume die gleiche Dimension haben.[4]

Gegeben ist ein separabler Hilbert-Raum ${\mathcal {G}}$ , dann existiert immer ein kanonischer irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum $\operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})$ namens Segal-Modell mit ${\mathcal {G}}$ als gaußscher Raum.[5]

Beispiele

Sei ${\displaystyle C_{0}[0,1]=\{\omega$ der klassische Wiener-Raum, ${\mathcal {B}}(C_{0})=\sigma (W_{s},0\leq s\leq 1)$ die σ-Algebra der Koordinaten-Abbildungen $W_{s}:\omega \mapsto \omega (s)$ (oder äquivalent die borelsche σ-Algebra von $C_{0}[0,1]$ ) und $\mu$ das Wiener-Maß. Weiter sei $H=L^{2}(0,1)$ und ${\mathcal {H}}=\{W_{h},h\in H\}$ die Familie der Wiener-Integrale definiert durch

W_{h}(\omega )=\int _{0}^{1}h(t)d\omega (t).

Dann ist

(C_{0}[0,1],{\mathcal {B}}(C_{0}),\mu ,{\mathcal {H}})

ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum.[6]

Sei $(X,H,\mu )$ ein abstrakter Wiener-Raum, d. h. $X$ ist ein separabler Banach-Raum und $H$ separabler Hilbert-Raum, der stetig und dicht in $X$ eingebettet ist, $\mu$ ein zentriertes gaußsches Maß und ${\mathcal {H}}=\{W_{l}(x):=\langle l,x\rangle ,l\in X^{*}\}$ . Dann ist $(X,{\mathcal {B}}(X),\mu ,{\mathcal {H}})$ ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum.[6]

Einzelnachweise

Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1, doi:10.1007/978-3-642-15074-6.
Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 4–5, doi:10.1007/978-3-642-15074-6.
Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 13–14, doi:10.1007/978-3-642-15074-6.
Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 14, doi:10.1007/978-3-642-15074-6.
Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 16, doi:10.1007/978-3-642-15074-6.
Zhi-yuan Huang und Jia-an Yan: Introduction to Infinite Dimensional Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer Netherlands. Niederlande 2000, S. 60.

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[1] Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1, doi:10.1007/978-3-642-15074-6.

[Malliavin-2] Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 4–5, doi:10.1007/978-3-642-15074-6.

[3] Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 13–14, doi:10.1007/978-3-642-15074-6.

[4] Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 14, doi:10.1007/978-3-642-15074-6.

[5] Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 16, doi:10.1007/978-3-642-15074-6.

[HuangYan-6] Zhi-yuan Huang und Jia-an Yan: Introduction to Infinite Dimensional Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer Netherlands. Niederlande 2000, S. 60.