Gaußsche Summe

Die Gaußsche Summe, Gaußsumme oder Gauß-Summe (nicht zu verwechseln mit der gaußschen Summenformel) ist ein bestimmter Typ einer endlichen Summe von Einheitswurzeln, typischerweise

${\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum _{r}\chi (r)\cdot \psi (r)}$

Dabei geht die Summe über die Elemente ${\displaystyle r}$ eines endlichen kommutativen Rings ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle \psi }$ ist ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppe ${\displaystyle R^{+}}$ in den Einheitskreis und ${\displaystyle \chi }$ ist ein Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppe ${\displaystyle R^{\times }}$ in den Einheitskreis, fortgesetzt (durch den Wert 0) auf Nichteinheiten. Solche Summen sind in der Zahlentheorie allgegenwärtig. Sie finden z. B. Verwendung bei den funktionalen Gleichungen der Dirichletschen L-Funktion, wo für einen Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi }$ die Gleichung in der Beziehung zwischen ${\displaystyle L(s,\chi )}$ und ${\displaystyle L(1-s,\chi ^{*})}$ den Faktor

${\displaystyle {\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}}$

verwendet, wobei ${\displaystyle \chi ^{*}}$ die komplex Konjugierte von ${\displaystyle \chi }$ ist.

Ursprünglich betrachtete Carl Friedrich Gauß die quadratische Gaußsche Summe mit ${\displaystyle R}$ als einem Restklassenkörper modulo einer ungeraden Primzahl ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle \chi }$ als Legendre-Symbol, dem quadratischen Restklassencharakter modulo ${\displaystyle p}$. Gauß bewies, dass ${\displaystyle G(\chi )={\sqrt {p}}}$ oder ${\displaystyle G(\chi )=i{\sqrt {p}}}$ gilt, je nachdem, ob ${\displaystyle p}$ kongruent zu 1 oder 3 modulo 4 ist.

Eine alternative Form dieser Gaußschen Summe ist:

${\displaystyle \sum _{r=0}^{p-1}e^{{\frac {2\pi i}{p}}r^{2}}}$

Quadratische Gaußsche Summen sind mit der Theorie der Thetafunktionen eng verbunden.

Die allgemeine Theorie der Gaußschen Summen wurde im frühen 19. Jahrhundert, unter Verwendung der Jacobi-Summen und deren Primzahlenzerlegung in Kreisteilungskörpern, entwickelt. Summen über den Mengen, wo ${\displaystyle \chi }$ einen bestimmten Wert annimmt, wenn der zugrundeliegende Ring der Restklassenring modulo einer ganzen Zahl ${\displaystyle N}$ ist, werden durch die Theorie der Gaußschen Perioden beschrieben.

Der Absolutbetrag einer Gaußschen Summe wird üblicherweise als Anwendung des Satzes von Plancherel auf endlichen Gruppen benutzt. Im Fall, dass ${\displaystyle R}$ ein Körper von ${\displaystyle p}$ Elementen und ${\displaystyle \chi }$ nichttrivial ist, ist dieser Betrag gleich ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$. Die Bestimmung des eigentlichen Wertes von allgemeinen Gaußschen Summen aus dem Ergebnis von Gauß für den quadratischen Fall ist ein lange ungelöstes Problem. Für einige Fälle siehe Kummer-Summe.