Ganzrationale Funktion

Ganzrationale Funktionen können als Linearkombinationen von Potenzen aufgefasst werden. Daher wachsen sie (für hinreichend große Werte) langsamer als jede exponentielle Funktion, deren Basis größer als 1 ist, unabhängig von den Koeffizienten.

Alle ganzrationalen Funktionen divergieren für ${\displaystyle x\to \pm \infty }$. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad n gerade oder ungerade ist, und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient ${\displaystyle a_{n}}$ hat; der Graph verhält sich dabei genauso wie der Graph einer Potenzfunktion mit dem Term ${\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n}}$. Angegeben ist im Folgenden außerdem die daraus folgende Wertemenge ${\displaystyle \mathbb {W} }$ für den Fall, dass die Definitionsmenge ${\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} }$ ist.

	n gerade	n ungerade
${\displaystyle a_{n}>0}$	Der Graph verläuft von links oben nach rechts oben, also: ${\displaystyle f(x)\to \infty }$ für ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {W} }$ ist nach unten beschränkt (durch das absolute Minimum der Funktion).	Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben, also: ${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ für ${\displaystyle x\to -\infty }$ und ${\displaystyle f(x)\to \infty }$ für ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }$.
${\displaystyle a_{n}<0}$	Der Graph verläuft von links unten nach rechts unten, also: ${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ für ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {W} }$ ist nach oben beschränkt (durch das absolute Maximum der Funktion).	Der Graph verläuft von links oben nach rechts unten, also: ${\displaystyle f(x)\to \infty }$ für ${\displaystyle x\to -\infty }$ und ${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ für ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }$.

Alle ganzrationalen Funktionen sind für ${\displaystyle x\to 0}$ endlich. Genauer gilt: Der Graph schneidet die ${\displaystyle y}$-Achse bei ${\displaystyle a_{0}}$, die Steigung an dieser Stelle ist durch ${\displaystyle a_{1}}$ gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der ${\displaystyle y}$-Achse hat also immer die Gleichung ${\displaystyle y=a_{1}x+a_{0}}$.

Der Graph der Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{5}+4x^{3}-3x+1}$ verläuft für ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ wie der Graph der Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{5}}$, also von links oben nach rechts unten (Grad ${\displaystyle n=5}$ ungerade, Leitkoeffizient ${\displaystyle a_{5}=-2<0}$). Für die Funktionswerte gilt also: ${\displaystyle f(x)\to \infty }$ für ${\displaystyle x\to -\infty }$ und ${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ für ${\displaystyle x\to \infty }$. Für ${\displaystyle x\to 0}$ verläuft er dagegen wie der Graph von ${\displaystyle h(x)=-3x+1}$, er schneidet die ${\displaystyle y}$-Achse also bei ${\displaystyle 1}$ und hat dort die Steigung ${\displaystyle -3}$.

Ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion als Produkt von linearen Faktoren (von denen manche auch mehrfach auftreten können) und evtl. einer ganzrationalen Funktion g ohne Nullstellen gegeben, also

${\displaystyle f(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsm (x-x_{m})^{k_{m}}\cdot g(x),}$

so sind ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}}$ die Nullstellen. Die natürlichen Zahlen ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}$ heißen die Vielfachheiten der Nullstellen.

Beispiel: Die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)}$

hat die dreifache Nullstelle ${\displaystyle x_{1}=0}$, die einfache Nullstelle ${\displaystyle x_{2}=2}$ und die doppelte/zweifache Nullstelle ${\displaystyle x_{3}=-3}$; die Faktoren ${\displaystyle -0{,}01}$ und ${\displaystyle x^{2}+1}$ können dagegen für kein ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ zu null werden, liefern also keine weiteren Nullstellen.

Die Linearfaktorzerlegung einer ganzrationalen Funktion kann man beispielsweise mit Hilfe der Polynomdivision bestimmen. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass sich so jede ganzrationale Funktion über den komplexen Zahlen in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegen lässt. Hat die Funktion nur reelle Koeffizienten, so folgt, dass mit jeder komplexen Nullstelle auch die jeweils konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle ist. Damit ergibt sich: jede ganzrationale Funktion über den reellen Zahlen kann (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als ein Produkt aus linearen und quadratischen Termen dargestellt werden.

Die Vielfachheit von Nullstellen hängt auch direkt mit den Ableitungen der Funktion zusammen: ${\displaystyle x_{0}}$ ist genau dann eine ${\displaystyle k}$-fache Nullstelle von ${\displaystyle f}$, wenn gilt ${\displaystyle f(x_{0})=f'(x_{0})=\dotsb =f^{(k-1)}(x_{0})=0}$ und ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$.

• Bei jeder Nullstelle ungerader Vielfachheit schneidet der Graph die ${\displaystyle x}$-Achse. Die Funktionswerte wechseln dort also ihr Vorzeichen. Bei einfachen Nullstellen wird die ${\displaystyle x}$-Achse in einem Winkel größer als 0° geschnitten. Bei jeder Nullstelle ungerader Vielfachheit größer gleich drei ist die Steigung an der Nullstelle 0; der Funktionsgraph hat einen Terrassenpunkt.

• Bei jeder Nullstelle gerader Vielfachheit berührt der Graph die ${\displaystyle x}$-Achse. Die Funktionswerte wechseln dort also ihr Vorzeichen nicht. Bei jeder solchen Nullstelle hat der Funktionsgraph einen Extrempunkt.

Graphische Veranschaulichung:

einfache Nullstelle	drei-, fünf-, 2k+1-fache Nullstelle	doppelte, vier-, 2k-fache Nullstelle

Berücksichtigt man außerdem noch das Verhalten für ${\displaystyle x\to \pm \infty }$, so ergibt sich für das obige Beispiel ${\displaystyle f(x)=-0{,}01x^{3}(x-2)(x+3)^{2}(x^{2}+1)}$ folgender Graph:

Beispielgraph

Mit Hilfe der Polynomdivision kann man zeigen, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad ${\displaystyle n}$ höchstens ${\displaystyle n}$ Nullstellen haben kann (Vielfachheiten mitgezählt).

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für ${\displaystyle x\to \pm \infty }$, das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel) und die Stetigkeit, so folgt außerdem: Ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die Anzahl der Nullstellen (Vielfachheiten mitgezählt) gerade bzw. ungerade. Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle.

Außerdem gibt es noch andere, weiterführende Regeln für die Anzahl der Nullstellen wie beispielsweise die Vorzeichenregel von Descartes und die sturmsche Kette.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad ${\displaystyle n\geq 1}$ mindestens eine komplexe Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann hat sie genau ${\displaystyle n}$ Nullstellen, wenn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. So ist beispielsweise die Nullstelle ${\displaystyle x=2}$ der Funktion ${\displaystyle (x-2)^{2}}$ eine doppelte. Im Ergebnis lässt sich jede ganzrationale Funktion positiven Grades in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.

Die Lage aller Nullstellen einer ganzrationalen Funktion vom Grad ${\displaystyle n}$ lässt sich durch Nullstellenschranken, in deren Berechnung nur die Koeffizienten und der Grad des Polynoms eingehen, abschätzen.

Ein wichtiger Spezialfall sind reelle Nullstellenschranken. Eine Zahl ${\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}$ heißt reelle Nullstellenschranke einer ganzrationalen Funktion ${\displaystyle f}$, wenn alle reellen Nullstellen von ${\displaystyle f}$ im Intervall ${\displaystyle [-B,B]}$ liegen; sie heißt obere reelle Nullstellenschranke von ${\displaystyle f}$, wenn alle reellen Nullstellen von ${\displaystyle f}$ kleiner oder gleich ${\displaystyle B}$ sind. Analog sind untere Nullstellenschranken erklärt.

Es folgen Beispiele reeller Nullstellenschranken für ganzrationale Funktionen

${\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}}$,

deren führender Koeffizient eins ist. Jede ganzrationale Funktion kann durch eine Division auf diese Form gebracht werden. Für einige reelle Nullstellenschranken spielt die Teilindexmenge ${\displaystyle N=\left\{k\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\mid a_{k}<0\right\}}$ der echt negativen Koeffizienten von ${\displaystyle f}$ eine besondere Rolle, ${\displaystyle |N|}$ bezeichnet deren Anzahl.

• ${\displaystyle B=\max \left\{\left.\left(|N|\cdot |a_{i}|\right)^{\frac {1}{n-i}}\right|i\in N\right\}}$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Cauchy-Regel),
• ${\displaystyle B=\min\{x\in \mathbb {R} :f^{(i)}(x)\geq 0{\text{ für alle }}i=0,\dotsc ,n\}}$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Newton-Regel),
• ${\displaystyle B=1+{\sqrt[{n-k}]{\alpha }}}$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Regel von Lagrange und Maclaurin), dabei bezeichnet ${\displaystyle \alpha =\max\{|a_{m}|\mid a_{m}<0\}}$ den Betrag des betragsgrößten negativen Koeffizienten und ${\displaystyle k=\max\{m\mid a_{m}<0\}}$ den Exponenten des höchsten Gliedes mit negativem Koeffizienten.
• Jedes ${\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}$, das die Ungleichung

${\displaystyle B^{n}\geq \sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|B^{i}}$

erfüllt, ist eine reelle Nullstellenschranke (solche ${\displaystyle B}$ sind sogar Schranken für die Beträge komplexer Nullstellen komplexer Polynome). Spezialfälle hiervon sind (siehe auch Satz von Gerschgorin)

• • ${\displaystyle B=1+\max \nolimits _{i=0,\,\ dotsc,\,n-1}|a_{i}|}$ und
  • ${\displaystyle B=\max \left(1,\sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|\right)}$.

Betrachtet man Polynomfunktionen ${\displaystyle f}$ mit komplexen Koeffizienten, deren Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist, dann sind Kreise um den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene das Pendant zu den reellen Nullstellenschranken, deren Radius so groß zu wählen ist, dass alle (bzw. je nach Anwendung auch nur „einige“) komplexen Nullstellen der Polynomfunktion auf der Kreisscheibe mit diesem Radius liegen. Eine Zahl ${\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}$ heißt komplexe Nullstellenschranke der Polynomfunktion ${\displaystyle f}$, wenn alle Nullstellen von ${\displaystyle f}$ auf der Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius ${\displaystyle B}$ liegen (oder anders formuliert: wenn der Betrag jeder Nullstelle kleiner oder gleich ${\displaystyle B}$ ist). Ein Ergebnis für komplexe Polynomfunktionen ist:

• Jedes ${\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}$, das die Ungleichung

${\displaystyle |a_{k}|B^{k}\geq \sum _{i\in \{0,\dotsc ,n\}\setminus \{k\}}|a_{i}|B^{i}}$

erfüllt, definiert einen Kreis in der komplexen Ebene mit Radius ${\displaystyle B}$ um den Nullpunkt, der genau ${\displaystyle k}$ komplexe Nullstellen enthält (Folgerung aus dem Satz von Rouché). Diese Ungleichung ist für ${\displaystyle k=0,n}$ immer lösbar, aber nicht notwendig für jeden Index ${\displaystyle k=1,\dotsc ,n-1}$.

• Im Fall ${\displaystyle k=n}$ ergibt sich die schon für reelle Polynome angegebene Schranke für den Betrag aller Nullstellen. Alle dort angegebenen direkten Berechnungen von ${\displaystyle B}$ gelten weiter.
• Im Fall ${\displaystyle k=0}$ ergibt sich ein Kreis, der keine Nullstellen enthält. ${\displaystyle 1/B}$ ist dann eine Schranke für alle Nullstellen des „reziproken“ Polynoms ${\displaystyle x^{n}f(1/x)/a_{0}}$.

Prinzipiell gibt es mehrere Möglichkeiten, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion zu bestimmen. Allgemeine Iterationsverfahren, wie das Newton-Verfahren und die Regula falsi oder auf Polynomfunktionen spezialisierte Iterationsverfahren, wie das Bairstow-Verfahren oder das Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren sind einerseits auf jede Polynomfunktion anwendbar, verlieren allerdings bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit.

Lineare Gleichungen können direkt durch Äquivalenzumformungen gelöst werden. Die Nullstellen sind dann immer einfach. Für quadratische Gleichungen, kubische Gleichungen und quartische Gleichungen gibt es allgemeine Lösungsformeln.

Für Polynome höheren Grades gibt es Lösungsformeln, sofern diese spezielle Formen haben:

• Reziproke Polynomfunktionen haben die Form

${\displaystyle f(x)=c_{0}\cdot x^{n}+c_{1}\cdot x^{n-1}+\dotsb +c_{1}\cdot x+c_{0}}$,

das heißt, für den ${\displaystyle i}$-ten Koeffizienten gilt ${\displaystyle c_{i}=c_{n-i}}$; anders gesagt: Die Koeffizienten sind symmetrisch. Für diese Funktionen und solche, die eine leichte Modifikation dieser Symmetriebedingung erfüllen, kann die Nullstellenbestimmung mit Hilfe der Substitution ${\displaystyle z=x+1/x}$ (bzw. ${\displaystyle z=x-1/x}$) auf eine Polynomgleichung reduziert werden, deren Grad halb so groß ist.

• Binome haben die Form ${\displaystyle f(x)=x^{n}+c}$.

Setzt man den Koeffizienten ${\displaystyle c}$ als reell voraus, so sind die ${\displaystyle n}$ Lösungen Vielfache der komplexen ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln:

${\displaystyle x_{k}={\sqrt[{n}]{c}}\cdot \exp \left({2k\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c\geq 0}$

${\displaystyle x_{k}={\sqrt[{n}]{\vert c\vert }}\cdot \exp \left({(2k+1)\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c<0}$,

wobei ${\displaystyle k=0,\dotsc ,n-1}$ durchläuft.

• Kann man eine Nullstelle durch ein beliebiges Verfahren oder durch Ausprobieren herausfinden, so kann man den zugehörigen Linearfaktor mit Hilfe einer Polynomdivision herausdividieren und erhält eine algebraische Gleichung niedrigeren Grades. Die Vielfachheiten der Nullstellen ergeben sich hier einfach, indem man abzählt, wie häufig eine Nullstelle jeweils in der Rechnung herauskommt. Für das Finden einer Nullstelle durch Probieren sind dabei folgende Sätze hilfreich:
• Polynomfunktionen, die nur gerade Potenzen von ${\displaystyle x}$ enthalten, haben die Form:

${\displaystyle f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+c_{n-4}\cdot x^{n-4}+\dotsb +c_{4}\cdot x^{4}+c_{2}\cdot x^{2}+c_{0}}$

Die Lösung erfolgt durch die Substitution ${\displaystyle z=x^{2}}$. Hat man eine Lösung für ${\displaystyle z_{1}}$ gefunden, so ist zu berücksichtigen, dass daraus zwei Lösungen für ${\displaystyle x}$ abzuleiten sind:

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {z_{1}}}}$ und ${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}}$

• Polynomfunktionen, die nur ungerade Potenzen von ${\displaystyle x}$ enthalten, haben die Form:

${\displaystyle f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+\dotsb +c_{5}\cdot x^{5}+c_{3}\cdot x^{3}+c_{1}\cdot x}$

Hier ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. Man dividiert das Polynom durch ${\displaystyle x}$ aus und behandelt es dann wie ein Polynomfunktion ${\displaystyle (n-1)}$-ten Grades, das nur gerade Potenzen von ${\displaystyle x}$ enthält.

Ganzrationale Funktionen sind über ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ stetig differenzierbar. Funktionen, die über ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ beziehungsweise über ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ differenzierbar sind, heißen ganze Funktionen. Die Ableitungsfunktion kann mit Hilfe der Faktor-, Summen- und Potenzregel bestimmt werden. Damit erhält man für die Funktion mit der Vorschrift

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$

die Ableitungsfunktion

${\displaystyle f'(x)=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}}$.

Auf einem kompakten Intervall ist jede ganzrationale Funktion integrierbar. Außerdem hat jede ganzrationale Funktion eine Stammfunktion. Diese kann mit den üblichen Integral-Regeln explizit angegeben werden. Es gilt:

${\displaystyle \int {\bigg (}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}{\bigg )}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}\int a_{k}x^{k}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}}{k+1}}x^{k+1}+c,}$

wobei ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ eine beliebige Konstante ist.

Für die Funktion mit dem Term

${\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x-1}$

ergibt sich die Ableitungsfunktion mit dem Term

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(2x^{3}-4x^{2}+5x-1)'\\&=(2x^{3})'-(4x^{2})'+(5x)'-1'\\&=2(x^{3})'-4(x^{2})'+5(x^{1})'-1(x^{0})'\\&=2\cdot 3x^{2}-4\cdot 2x+5\cdot 1x^{0}-1\cdot 0\\&=6x^{2}-8x+5\end{aligned}}}$

Für die Stammfunktionen erhält man in diesem Fall

${\displaystyle \int (2x^{3}-4x^{2}+5x-1)\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {4}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}-x+c,c\in \mathbb {R} .}$

• Hat die Funktion selbst eine Nullstelle gerader Vielfachheit, so hat ihr Graph dort einen Extrempunkt (siehe oben bei Nullstellen).

• Wechselt die erste Ableitung an einer Stelle ihr Vorzeichen von − nach +, so ist dort eine Minimalstelle; wechselt es von + nach −, so ist dort eine Maximalstelle; wechselt das Vorzeichen nicht, so ist dort keine Extremstelle (aber ein Terrassenpunkt).

• Ist die zweite Ableitung bei einer Nullstelle der ersten Ableitung positiv bzw. negativ, so wechselt die erste Ableitung dort ihr Vorzeichen von − nach + (Minimalstelle) bzw. von + nach − (Maximalstelle). Ist die zweite Ableitung gleich null, so kann an dieser Stelle dennoch eine Extremstelle sein, es kann dort aber auch ein Terrassenpunkt sein. Zur Unterscheidung sind dann andere Mittel als die zweite Ableitung nötig.

• Hat eine Nullstelle der ersten Ableitung ungerade Vielfachheit, so hat die Funktion selbst dort eine Extremstelle; hat sie dagegen gerade Vielfachheit, so hat die Funktion an dieser Stelle einen Terrassenpunkt.

Aus dem Satz über die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion folgt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad ${\displaystyle n}$ höchstens ${\displaystyle n-1}$ Extremstellen haben kann.

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ und das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel), so folgt außerdem: Ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die Anzahl der Extremstellen ungerade bzw. gerade.

Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von geradem Grad hat ein absolutes Minimum oder Maximum (je nachdem, ob der Leitkoeffizient ${\displaystyle a_{n}}$ positiv oder negativ ist).

• Hat die Funktion selbst eine Nullstelle ungerader Vielfachheit größer gleich drei, so hat ihr Graph dort einen Terrassenpunkt, also auch einen Wendepunkt (siehe oben bei Nullstellen).

• Wechselt die zweite Ableitung an einer Stelle ihr Vorzeichen, so ist dort eine Wendestelle.

• Ist die dritte Ableitung bei einer Nullstelle der zweiten Ableitung ungleich Null, so wechselt die zweite Ableitung dort ihr Vorzeichen (Wendestelle). Ist die dritte Ableitung gleich null, so kann an dieser Stelle trotzdem eine Wendestelle sein, muss aber nicht. Zur Unterscheidung sind dann andere Mittel als die dritte Ableitung nötig.

• Hat eine Nullstelle der zweiten Ableitung gerade Vielfachheit, so hat die Funktion selbst dort keine Wendestelle; hat die Nullstelle der ersten Ableitung dagegen ungerade Vielfachheit, so hat die Funktion selbst dort eine Wendestelle. Ist zusätzlich auch die erste Ableitung an dieser Stelle gleich null, so hat der Graph der Funktion dort einen Terrassenpunkt.

• Insbesondere bei Funktionen dritten Grades gilt:
  • Hoch- und Tiefpunkt (wenn vorhanden) liegen immer symmetrisch zum Wendepunkt (dies folgt, da die Graphen von Funktionen dritten Grades immer symmetrisch zu ihrem Wendepunkt sind, siehe oben).
  • Hat die Funktion selbst drei (nicht notwendigerweise verschiedene) reelle Nullstellen, so ergibt sich die Wendestelle als ihr Mittelwert, gewichtet mit den Vielfachheiten. (Gibt es dagegen nur eine reelle Nullstelle, so müssen bei der Mittelwertbildung auch die komplexen Nullstellen mit berücksichtigt werden.)

Aus dem Satz über die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion folgt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad ${\displaystyle n}$ höchstens ${\displaystyle n-2}$ Wendestellen haben kann.

Wird zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ und das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel) betrachtet, so folgt außerdem: Ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die Anzahl der Wendestellen gerade bzw. ungerade.

Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von ungeradem Grad größer gleich drei hat mindestens eine Wendestelle.