Ganzes Element

Es sei ${\displaystyle A}$ ein Ring und ${\displaystyle B}$ eine ${\displaystyle A}$-Algebra. Dann heißt ein Element ${\displaystyle b\in B}$ ganz über ${\displaystyle A}$, wenn es ein Polynom ${\displaystyle p\in A[X]\setminus \{0\}}$ mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass ${\displaystyle p(b)=0}$ gilt, also wenn es ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und Koeffizienten ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n-1}\in A}$ gibt mit

${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\dots +a_{1}b+a_{0}=0}$.

Die Menge der über ${\displaystyle A}$ ganzen Elemente von ${\displaystyle B}$ heißt der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$.

Falls der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle A}$ übereinstimmt, heißt ${\displaystyle A}$ ganz abgeschlossen in ${\displaystyle B}$. Stimmt der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$ jedoch mit ${\displaystyle B}$ überein, ist also jedes Element von ${\displaystyle B}$ ganz über ${\displaystyle A}$, so heißt ${\displaystyle B}$ ganz über ${\displaystyle A}$.

• Ist ${\displaystyle A\subseteq B}$ eine Ringerweiterung, dann ist ${\displaystyle B}$ insbesondere eine ${\displaystyle A}$-Algebra. Ist ${\displaystyle B}$ ganz über ${\displaystyle A}$, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
• Ein Integritätsring, der ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist, wird als normaler Ring bezeichnet.
• Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkörper ${\displaystyle K}$ wird als der Ganzheitsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ von ${\displaystyle K}$ bezeichnet.
• Ist ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle K=\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {5}}{\big )}}$, so ist der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle K}$ gegeben als

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right].}$

Sei ${\displaystyle A\subseteq B}$ eine Ringerweiterung, ${\displaystyle x\in B}$. Dann sind äquivalent:[1]

• ${\displaystyle x}$ ist ganz über ${\displaystyle A}$,
• ${\displaystyle A[x]}$ ist als ${\displaystyle A}$-Modul endlich erzeugt,
• es gibt einen Teilring ${\displaystyle C\subseteq B}$, sodass ${\displaystyle A[x]\subseteq C}$ und ${\displaystyle C}$ als ${\displaystyle A}$-Modul endlich erzeugt ist.

• Der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$ ist eine ${\displaystyle A}$-Unteralgebra von ${\displaystyle B}$.

• Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C}$, dass ${\displaystyle C}$ genau dann ganz über ${\displaystyle A}$ ist, wenn ${\displaystyle B}$ ganz über ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle C}$ ganz über ${\displaystyle B}$ ist.[2]

• Eine ${\displaystyle A}$-Algebra ${\displaystyle B}$ ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.[3]

• Sei ${\displaystyle A\subseteq B}$ eine Ringerweiterung, ${\displaystyle C}$ der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle S\subseteq A}$ eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch ${\displaystyle S^{-1}C}$ der ganze Abschluss von ${\displaystyle S^{-1}A}$ in ${\displaystyle S^{-1}B}$, wobei mit ${\displaystyle S^{-1}}$ die Lokalisierung nach der Menge ${\displaystyle S}$ bezeichnet.[4]

• Ganzabgeschlossenheit ist eine lokale Eigenschaft.

• Sei ${\displaystyle A\subseteq B}$ eine ganze Ringerweiterung und ${\displaystyle B}$ nullteilerfrei. Dann ist ${\displaystyle A}$ genau dann ein Körper, wenn ${\displaystyle B}$ ein Körper ist.[5]

• Ist ${\displaystyle A\subseteq B}$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in ${\displaystyle B}$ und darunterliegenden Primidealketten in ${\displaystyle A}$. Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.

• Falls ${\displaystyle A}$ ein Unterring des Körpers ${\displaystyle K}$ ist, dann ist der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle K}$ der Durchschnitt aller Bewertungsringe von ${\displaystyle K}$ die ${\displaystyle A}$ enthalten.[6]

• M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 5, ISBN 0-201-00361-9

1. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.1.
2. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.4.
3. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, S. 60
4. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.6.
5. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.7.
6. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.22.