Gamma-Gamma-Verteilung

Die Gamma-Gamma-Verteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, die in der Bayesschen Statistik und in der Inferenztheorie eine wichtige Rolle spielt, da es sich um eine Mischverteilung handelt.

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Gamma-Verteilung ist bei

wobei die Eulersche Betafunktion ist.

Eigenschaften

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert ist

, für

und die Varianz

, für

Modus

Der Modus ist

, für

Sonderfall δ=1

Falls δ=1, dann ist die Dichtefunktion

Da wendet man diesen Sonderfall an der Exponentialverteilung, mit gammaverteiltem Parameter .

Sonderfall β=1: Inverse Betaverteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung entspricht einer inversen Betaverteilung

Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter der Gammaverteilung eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung verteilt.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Ist der Parameter der Exponentialverteilung eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung verteilt.

Literatur

  • Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2

Siehe auch

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