Gruppenoperation

Eine (Links-)Operation, (Links-)Aktion oder (Links-)Wirkung einer Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ auf einer Menge ${\displaystyle X}$ ist eine äußere zweistellige Verknüpfung

${\displaystyle \triangleright \colon G\times X\to X;\qquad (g,x)\mapsto g\triangleright x,}$

mit folgenden Eigenschaften:

1. ${\displaystyle e\triangleright x=x}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$, wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element von ${\displaystyle G}$ ist     („Identität“),
2. ${\displaystyle (g*h)\triangleright x=g\triangleright (h\triangleright x)}$ für alle ${\displaystyle g,h\in G,x\in X}$     („Verträglichkeit“).

Man sagt dann, ${\displaystyle G}$ operiert (von links) auf ${\displaystyle X}$, und nennt ${\displaystyle X}$ zusammen mit dieser Gruppenoperation eine (linke) ${\displaystyle G}$-Menge.

Aus den beiden Forderungen folgt, dass für jedes ${\displaystyle g\in G}$ die Transformation ${\displaystyle \vartheta _{g\,\triangleright }\colon X\to X;\quad x\mapsto g\triangleright x,}$ eine bijektive Abbildung ist (die Umkehrabbildung ${\displaystyle \vartheta _{g\,\triangleright }^{-1}}$ ist ${\displaystyle \vartheta _{g^{-1}\triangleright }\colon X\to X;\quad x\mapsto g^{-1}\triangleright x}$). Deswegen ist die Aktion eines Gruppenelements ${\displaystyle g}$ nicht nur eine Selbstabbildung, sondern eine Permutation von ${\displaystyle X}$, und eine Gruppenoperation von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ kann mit einem Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle (G,*)}$ in die symmetrische Gruppe ${\displaystyle (\operatorname {Sym} (X),\circ )}$ gleichgesetzt werden.

Analog zur Linksoperation ist eine Rechtsoperation, -aktion oder -wirkung eine äußere zweistellige Verknüpfung

${\displaystyle \triangleleft \colon X\times G\to X;\qquad (x,g)\mapsto x\triangleleft g}$

mit

1. ${\displaystyle x\triangleleft e=x}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$ und das neutrale Element ${\displaystyle e}$ von ${\displaystyle G,}$
2. ${\displaystyle x\triangleleft (g*h)=(x\triangleleft g)\triangleleft h}$ für alle ${\displaystyle g,h\in G,x\in X.}$

Der Unterschied zwischen Links- und Rechtsoperationen liegt in der Art und Weise, wie Verknüpfungen ${\displaystyle g*h}$ auf ${\displaystyle X}$ operieren. Bei einer Linksoperation operiert zuerst ${\displaystyle h}$ und dann ${\displaystyle g}$, während bei einer Rechtsoperation die Reihenfolge umgekehrt ist.

Aus einer Rechtsoperation lässt sich eine Linksoperation konstruieren, indem man die Operation als Linksoperation der Gegengruppe schreibt, oder auch, indem statt ${\displaystyle g}$ von links ${\displaystyle g^{-1}}$ von rechts operiert. Zu jeder Rechtsoperation ${\displaystyle \triangleleft }$ gibt es eine Linksoperation

${\displaystyle \triangleright \colon G\times X\to X;\qquad (g,x)\mapsto g\triangleright x:=x\triangleleft g^{-1},}$

denn

${\displaystyle e\triangleright x=x\triangleleft e^{-1}=x\triangleleft e=x}$

und

${\displaystyle {\begin{aligned}(g*h)\triangleright x&=x\triangleleft (g*h)^{-1}=x\triangleleft (h^{-1}*g^{-1})\\&=(x\triangleleft h^{-1})\triangleleft g^{-1}=(h\triangleright x)\triangleleft g^{-1}=g\triangleright (h\triangleright x).\end{aligned}}}$

Analog lässt sich eine Links- in eine Rechtsoperation umwandeln. Da sich Links- und Rechtsoperation im Wesentlichen nicht unterscheiden, werden ab hier nur noch Linksoperationen betrachtet.

Es sei ${\displaystyle \triangleright }$ die (Links-)Operation einer Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ auf einer Menge ${\displaystyle X.}$ Für jedes ${\displaystyle x\in X}$ nennt man dann

${\displaystyle G\triangleright x:=\{g\triangleright x\mid g\in G\}}$

die Bahn, das Transitivitätsgebiet, das Transitivitätssystem oder den Orbit (engl. orbit) von ${\displaystyle x.}$ Die Bahnen bilden eine Partition von ${\displaystyle X.}$ Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihre Mächtigkeit) wird auch die Länge der Bahn genannt. Für ein fest gewähltes ${\displaystyle x_{0}\in X}$ nennt man die durch

${\displaystyle g\mapsto gx_{0}}$

gegebene Abbildung ${\displaystyle G\to X}$ die „Orbitabbildung“.

Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation:

${\displaystyle x\sim y,}$

falls es ein ${\displaystyle g\in G}$ gibt, für das ${\displaystyle g\triangleright x=y}$ gilt.

Die Menge ${\displaystyle G\backslash X:=\{G\triangleright x\mid x\in X\}}$ der Äquivalenzklassen wird Bahnenraum oder Orbitraum genannt.

Für eine Rechtsoperation ${\displaystyle \triangleleft }$ definiert man analog

${\displaystyle x\triangleleft G:=\{x\triangleleft g\mid g\in G\}}$

und

${\displaystyle X/G:=\{x\triangleleft G\mid x\in X\}.}$

Seien ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle G}$ eine Transformationsgruppe von ${\displaystyle X}$. Für einen Punkt ${\displaystyle x\in X}$ bezeichne ${\displaystyle G\triangleright x}$ die Bahn von ${\displaystyle x}$. Dann heißt die Menge ${\displaystyle F\subset X}$ ein Fundamentalbereich von ${\displaystyle X}$, wenn der Schnitt ${\displaystyle G\triangleright x\cap F}$ für jedes ${\displaystyle x\in X}$ eine einelementige Menge ist.[1]

Beispiel

Das Quadrat ${\displaystyle [0,1)\times [0,1)}$ ist ein Fundamentalbereich von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ bezüglich der Transformationsgruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$. Jeder Punkt ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ lässt sich schreiben als ${\displaystyle (u+m,v+n)}$ mit ${\displaystyle (m,n):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor )\in \mathbb {Z} ^{2}}$ und ${\displaystyle (u,v):=(x-m,y-n)\in [0,1)\times [0,1)}$.

Man bezeichnet die Gruppenoperation ${\displaystyle \triangleright }$ von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ als (einfach) transitiv oder sagt „die Gruppe ${\displaystyle G}$ operiert (einfach) transitiv auf ${\displaystyle X}$“, wenn es zu je zwei Elementen ${\displaystyle x,y\in X}$ ein ${\displaystyle g\in G}$ gibt, so dass ${\displaystyle g\triangleright x=y}$ gilt. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Bahn, die ganz ${\displaystyle X}$ umfasst. Ist das Gruppenelement ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle g\triangleright x=y}$ darüber hinaus durch zwei beliebige Elemente ${\displaystyle x,y\in X}$ eindeutig bestimmt, so nennt man die Gruppenoperation scharf (einfach) transitiv.

Gibt es sogar zu jedem Paar von Urbildern ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\in X^{2}}$ mit ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$ und jedem Paar von Bildern ${\displaystyle (y_{1},y_{2})\in X^{2}}$ mit ${\displaystyle y_{1}\neq y_{2}}$ ein Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$, für das ${\displaystyle g\triangleright x_{1}=y_{1}}$ und ${\displaystyle g\triangleright x_{2}=y_{2}}$ ist, dann nennt man die Gruppenoperation zweifach transitiv und scharf zweifach transitiv, wenn es stets genau ein Gruppenelement mit der genannten Eigenschaft gibt.

Wenn Missverständnisse nicht zu befürchten sind, kann anstelle der Formulierung „die Symmetriegruppe des Graphen operiert transitiv auf den Kanten“ auch die kürzere „der Graph ist kantentransitiv“ oder „die Gruppe ist kantentransitiv“ (engl. edge-transitive) vorkommen.

Allgemein bestimmt eine Operation ${\displaystyle \triangleright }$ der Gruppe ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}$ stets eine Operation

${\displaystyle \triangleright _{k}\colon G\times X^{k}\to X^{k}}$

auf den geordneten Teilmengen von ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle k}$ Elementen (k-Tupel mit paarweise verschiedenen Komponenten) durch

${\displaystyle g\triangleright _{k}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{k})=(g\triangleright x_{1},g\triangleright x_{2},\dotsc ,g\triangleright x_{k}).}$

Ist ${\displaystyle \triangleright _{k}}$ (scharf) einfach transitiv, dann heißt die Gruppenoperation ${\displaystyle \triangleright }$ (scharf) ${\displaystyle k}$-fach transitiv. Mit anderen Worten: Die Gruppe operiert via ${\displaystyle \triangleright }$ genau dann ${\displaystyle k}$-fach transitiv auf ${\displaystyle X,}$ wenn ${\displaystyle X^{k}}$ bezüglich ${\displaystyle \triangleright _{k}}$ nur eine Bahn (nämlich ${\displaystyle X^{k}}$ selbst) hat, scharf ${\displaystyle k}$-fach transitiv, wenn es für Elemente (k-Tupel) ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in X^{k}}$ dieser Bahn stets genau ein Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$ mit ${\displaystyle g\triangleright _{k}t_{1}=t_{2}}$ gibt. Wichtige Anwendungen haben solche (scharf) transitiven Operationen in der Geometrie, siehe zum Beispiel Affinität (Mathematik), Moufangebene, Affine Translationsebene.

Beispiele

• Die Vierergruppe ${\displaystyle V_{1}:=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$ operiert (scharf einfach) transitiv auf der Menge ${\displaystyle M:=\{1,2,3,4\}}$, da die Ziffer 1 in jede andere übergeführt werden kann. Das gilt nicht für die Vierergruppe ${\displaystyle V_{2}:=\{e,(12),(34),(12)(34)\}}$, die isomorph zu ${\displaystyle V_{1}}$ ist.
• Die Galoisgruppe eines über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ irreduziblen Polynoms mit rationalen Koeffizienten operiert transitiv auf der Menge der Nullstellen des Polynoms.[2]

Hat die Gruppenoperation mehr als eine Bahn, nennt man sie intransitiv. Diejenigen Permutationen einer intransitiven Permutationsgruppe, die nur die Ziffern einer Bahn vertauschen, die übrigen Ziffern ungeändert lassen, bilden eine Untergruppe, die transitiv wird, wenn man die ungeänderten Ziffern weglässt.

Eine Verallgemeinerung der ${\displaystyle k}$-fach transitiven Operation ist die ${\displaystyle k}$-fach homogene Operation. Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ operiert ${\displaystyle k}$-fach homogen auf der Menge ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} \setminus \{0\},}$ wenn es für zwei beliebige Teilmengen ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ mit je genau ${\displaystyle k}$ Elementen stets mindestens ein Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$ gibt, das ${\displaystyle U}$ auf ${\displaystyle V}$ abbildet, also mit ${\displaystyle g\triangleright U=V.}$ Jede ${\displaystyle k}$-fach transitive Operation ist auch ${\displaystyle k}$-fach homogen. Von der homogenen Operation wird im Unterschied zur transitiven Operation nicht verlangt, dass die ${\displaystyle k}$ vorgegebenen Urbildelemente in einer bestimmten Reihenfolge auf die vorgegebenen Bildelemente abgebildet werden.

Für ein ${\displaystyle x\in X}$ nennt man

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\triangleright x=x\}}$

den Stabilisator, die Isotropiegruppe, die Fixgruppe oder die Standuntergruppe von ${\displaystyle x.\;(G_{x},*)}$ ist eine Untergruppe von ${\displaystyle (G,*)}$, die auf ${\displaystyle G}$ operiert. Durch die Operation ${\displaystyle \triangleright }$ ist dann eine kanonische Bijektion zwischen dem Bahnenraum (Nebenklassen, siehe unten) des Stabilisators und der Bahn von ${\displaystyle x}$ gegeben:

${\displaystyle G/G_{x}\;{\stackrel {\cong }{\to }}\;G\triangleright x,\quad g*G_{x}\mapsto g\triangleright x.}$

${\displaystyle G_{x}}$ operiert (durch Einschränkung von ${\displaystyle \triangleright }$) auf ${\displaystyle X\setminus \{x\}.}$ Ist diese Operation ${\displaystyle k}$-fach transitiv und ${\displaystyle G_{x}\neq G,}$ so ist die Operation von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ sogar ${\displaystyle (k+1)}$-fach transitiv.

Ist ${\displaystyle Y\subseteq X}$ eine Teilmenge und ${\displaystyle H\subseteq G}$ eine Untergruppe, und gilt

${\displaystyle H\triangleright Y\subseteq Y}$ mit ${\displaystyle H\triangleright Y:=\{h\triangleright y\mid h\in H,y\in Y\},}$

so sagt man, dass ${\displaystyle Y}$ stabil unter ${\displaystyle H}$ ist oder dass ${\displaystyle Y}$ von ${\displaystyle H}$ stabilisiert wird. Es gilt dann stets sogar ${\displaystyle H\triangleright Y=Y.}$ Der Stabilisator eines Punktes ${\displaystyle x\in X}$ ist also die maximale Untergruppe von ${\displaystyle G,}$ die ${\displaystyle \{x\}}$ stabilisiert.

Die Operation heißt frei, falls jedes Element der Menge nur vom neutralen Element der Gruppe fixiert wird. Das bedeutet, dass sämtliche Stabilisatoren trivial sind, d. h. ${\displaystyle G_{x}=\{e\}}$ für alle ${\displaystyle x\in X.}$

Die Operation heißt treu bzw. effektiv, falls nur das neutrale Element der Gruppe alle Elemente der Menge fixiert. Das bedeutet, dass der zugehörige Homomorphismus ${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (X)}$ trivialen Kern hat, also injektiv ist. Für treue Operationen kann ${\displaystyle G}$ als Untergruppe von ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$ aufgefasst werden. Für treue Operationen mit endlicher Menge ${\displaystyle X}$ sagt man auch: „${\displaystyle G}$ operiert als Permutationsgruppe auf ${\displaystyle X.}$“

Jede freie Gruppenoperation auf einer nichtleeren Menge ist treu.

Wenn ${\displaystyle Y}$ eine weitere Menge mit einer ${\displaystyle G}$-Linksoperation ${\displaystyle \star }$ ist und ${\displaystyle \varphi \colon X\to Y}$ eine Abbildung, so dass für alle ${\displaystyle g\in G}$ und für alle ${\displaystyle x\in X}$ gilt:

${\displaystyle \varphi (g\triangleright x)=g\star \varphi (x),}$

dann wird ${\displaystyle \varphi }$ als G-äquivariant oder auch als Homomorphismus von ${\displaystyle G}$-Mengen bezeichnet.

Das einfachste Beispiel einer Operation ist die Operation einer Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ auf sich selbst: ${\displaystyle *}$ ist stets eine Operation auf ${\displaystyle G}$, denn ${\displaystyle (g*h)*x=g*(h*x)}$ und ${\displaystyle e*g=g.}$

Die Abbildung ${\displaystyle \Theta \colon G\to \operatorname {Sym} (G)}$ ordnet jedem Gruppenelement ${\displaystyle g}$ die Linkstranslation ${\displaystyle \vartheta _{g*}}$ mit diesem zu. Weil die Operation treu ist, ist ${\displaystyle {\Theta }}$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus, man erhält hieraus den

Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung ${\displaystyle n}$ ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Sym} _{n\!}.}$

Analoges gilt auch für die Rechtstranslation ${\displaystyle \vartheta _{*g}.}$

Betrachtet man eine Untergruppe ${\displaystyle H}$ von ${\displaystyle G,}$ dann operiert auch ${\displaystyle H}$ auf ${\displaystyle G.}$ Die Bahn ${\displaystyle H*g}$ eines Elements ${\displaystyle g\in G}$ heißt dann auch Rechtsnebenklasse und ${\displaystyle g*H}$ Linksnebenklasse von ${\displaystyle g.}$ Man beachte, dass im Allgemeinen nicht ${\displaystyle g*H=H*g}$ sein muss. Die Mächtigkeit der Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit

${\displaystyle G:H:=|H\backslash G|.}$

Da in einer Gruppe jede Rechtstranslation eine Bijektion ist, gilt ${\displaystyle |H*g|=|H|}$ für jedes ${\displaystyle g\in G.}$ Daraus folgt mit der Bahnengleichung der

Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe ${\displaystyle H}$ einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$ gilt:

${\displaystyle |G|=(G:H)\cdot |H|.}$

Insbesondere ist die Ordnung von ${\displaystyle H}$ ein Teiler der Ordnung von ${\displaystyle G.}$

Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also

${\displaystyle G:H=|H\backslash G|=|G/H|.}$

Eine Untergruppe ${\displaystyle H}$ von ${\displaystyle G}$ heißt Normalteiler, wenn ${\displaystyle g*H=H*g}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$ gilt. Ist ${\displaystyle H}$ ein Normalteiler von ${\displaystyle G,}$ dann wird durch

${\displaystyle (g_{1}*H)\circledast (g_{2}*H):=(g_{1}*g_{2})*H}$

eine Verknüpfung auf ${\displaystyle G/H}$ definiert, mit der ${\displaystyle (G/H,\circledast )}$ eine Gruppe ist, man nennt sie die Faktorgruppe von ${\displaystyle (G,*)}$ modulo ${\displaystyle H.}$

Eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ operiert auf sich durch die Konjugation, also ${\displaystyle g\triangleright h:=g*h*g^{-1}.}$

Die Bahnen werden in diesem Zusammenhang als Konjugationsklassen, die Stabilisatoren als Zentralisatoren bezeichnet. Aus der Bahnformel erhält man in diesem Fall die Klassengleichung.

Die Automorphismen ${\displaystyle \varphi _{g}\colon h\mapsto g*h*g^{-1}}$ heißen innere Automorphismen, die Menge aller inneren Automorphismen wird mit ${\displaystyle \mathrm {Inn} (G)}$ bezeichnet.

Eine elegante Anwendung der Klassengleichung lieferte Ernst Witt mit seinem kurzen Beweis (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Endliche Schiefkörper sind kommutativ.“

Ist ${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung, dann bezeichnet man mit ${\displaystyle \mathrm {Aut} (L/K)}$ die Gruppe aller Automorphismen von ${\displaystyle L,}$ die ${\displaystyle K}$ punktweise fest lassen. Diese Gruppe operiert auf ${\displaystyle L}$ durch ${\displaystyle \varphi \triangleright x:=\varphi (x).}$ Jede Bahn besteht aus den in ${\displaystyle L}$ liegenden Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in ${\displaystyle K,}$ das über ${\displaystyle K}$ irreduzibel ist. Elemente derselben Bahn nennt man hier konjugiert über ${\displaystyle K,}$ sie haben dasselbe Minimalpolynom über ${\displaystyle K.}$

Ein ${\displaystyle G}$-(Links-)Modul ist eine abelsche Gruppe ${\displaystyle (M,+),}$ auf der eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ (von links) operiert, derart dass zusätzlich die (Links-)Operation ${\displaystyle \triangleright \colon G\times M\to M}$ linksverträglich mit ${\displaystyle +}$ ist, d. h., es gilt

${\displaystyle g\triangleright (x+y)=(g\triangleright x)+(g\triangleright y)}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$ und alle ${\displaystyle x,y\in M.}$

Die Transformationen ${\displaystyle \vartheta _{g\,\triangleright }}$ mit ${\displaystyle g\in G}$ bilden dann die Gruppe ${\displaystyle (\operatorname {Aut} (M),\circ )}$ der Automorphismen auf ${\displaystyle (M,+)}$ und die Abbildung ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (M);\quad g\mapsto \vartheta _{g\,\triangleright }}$ ist ein Gruppenisomorphismus.

Ist insbesondere ${\displaystyle \odot }$ die skalare Multiplikation eines Vektorraums ${\displaystyle (V,\oplus ,\odot )}$ über dem Körper ${\displaystyle (K,+,\cdot ),}$ dann operiert die multiplikative Gruppe ${\displaystyle (K\setminus \{0\},\cdot )}$ auf ${\displaystyle V.}$

Ist allgemeiner ${\displaystyle X}$ ein Objekt einer beliebigen Kategorie, so kann eine strukturverträgliche Operation einer (abstrakten) Gruppe ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} X,}$

dabei ist ${\displaystyle \operatorname {Aut} X}$ die Gruppe der Automorphismen von ${\displaystyle X}$ im kategorientheoretischen Sinne. Die oben genannten Operationen von Gruppen auf Mengen oder abelschen Gruppen sind Spezialfälle.