G_δ- und F_σ-Mengen

Gegeben sei ein topologischer Raum ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$.

Eine Menge ${\displaystyle G\subset X}$ heißt eine G_δ-Menge, wenn sie der abzählbare Durchschnitt von offenen Mengen in ${\displaystyle X}$ ist. Das heißt, es existieren Mengen ${\displaystyle O_{n}\in {\mathcal {O}}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so dass

${\displaystyle G=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }O_{n}}$

gilt.

Eine Menge ${\displaystyle F\subset X}$ heißt eine F_σ-Menge, wenn sie die abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen in ${\displaystyle X}$ ist. Äquivalent dazu ist, dass das Komplement der Menge eine G_δ-Menge ist.

Die Benennung erklärt sich wie folgt:

• F steht für fermé, französisch für abgeschlossen, das σ für somme, französisch für Summe und daraus abgeleitet die Vereinigung, ähnlich der σ-Additivität oder der σ-Endlichkeit.[1]
• G steht für Gebiet, da Felix Hausdorff offene Mengen Gebiete nannte,[2] das δ für Durchschnitt.[3]

Namensgebend sind die G_δ-Mengen beispielsweise bei dem G_δ-Satz von Hausdorff, ebenso spielen sie eine zentrale Rolle bei dem eng verwandten Satz von Mazurkiewicz.

Außerdem sind sowohl G_δ-Mengen als auch F_σ-Mengen stets Borel-Mengen und befinden sich in der zweiten Stufe der Borel-Hierarchie.

• G_δ-Raum, in dem jede abgeschlossene Teilmenge eine G_δ-Menge oder äquivalent jede offene Teilmenge eine F_σ-Menge ist.

• G-delta. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
• F-sigma. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN 978-3-540-67790-1, doi:10.1007/978-3-642-56860-2.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.

1. Eric W. Weisstein: F-Sigma Set. In: MathWorld (englisch).
2. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 26.
3. Eric W. Weisstein: G-Delta Set. In: MathWorld (englisch).