Fuzzy Retrieval

${\displaystyle F(d_{j},t_{1}{\text{ AND }}\dots {\text{ AND }}t_{n})=(1-\gamma )\cdot \min\{w_{j1},\dots ,w_{jn}\}+\gamma \cdot \max {w_{j1},\dots ,w_{jn}}}$, ${\displaystyle 0\leqq \gamma \leqq 0{,}5}$;

${\displaystyle F(d_{j},t_{1}{\text{ OR }}\dots {\text{ OR }}t_{n})=(1-\gamma )\cdot \min\{w_{j1},\dots ,w_{jn}\}+\gamma \cdot \max\{w_{j1},\dots ,w_{jn}\}}$, ${\displaystyle 0{,}5\leqq \gamma \leqq 1}$.

Das Modell mischt die Operation Maximum mit Minimum und hat bessere Effektivität als beim einfachen Fuzzy-Modell.

Bei einer AND-Verknüpfung: ${\displaystyle w_{ji}}$ der Größe nach in ansteigender Reihenfolge sortiert, d. h. ${\displaystyle w_{j1}\leqq \dots \leqq w_{jn}}$

${\displaystyle F(d_{j},t_{1}{\text{ AND }}\dots {\text{ AND }}t_{n})=\left[\sum _{i=1}^{n}(r^{i-1}\cdots w_{ji})\right]/\left[\sum _{i=1}^{n}r^{i-1}\right]}$, ${\displaystyle 0\leqq r\leqq 1}$.

Bei einer OR-Verknüpfung: ${\displaystyle w_{ji}}$ der Größe nach in absteigender Reihenfolge sortiert, d. h. ${\displaystyle w_{j1}\geqq \dots \geqq w_{jn}}$

${\displaystyle F(d_{j},t_{1}{\text{ OR }}\dots {\text{ OR }}t_{n})=\left[\sum _{i=1}^{n}(r^{i-1}\cdot w_{ji})\right]/\left[\sum _{i=1}^{n}r^{i-1}\right]}$, ${\displaystyle 0\leqq r\leqq 1}$.

Dieses Modell berücksichtigt alle Termgewichte bei der Berechnung der Ähnlichkeit. Aber es verlangt höheren Berechnungsaufwand als beim Waller-Kraft-Modell.

In der folgenden Tabelle werden die Ergebnisse von ${\displaystyle d_{1}}$ und ${\displaystyle d_{2}}$ bei einfachem Fuzzy-IR-Modell, Waller-Kraft-Modell sowie Paice-Modell miteinander verglichen.

${\displaystyle q_{1}=t_{1}{\text{ AND }}t_{2}}$	Einfaches Fuzzy IR-Modell	Waller-Kraft-Modell (${\displaystyle \gamma =0{,}3}$)	Paice-Modell (${\displaystyle r=0{,}3}$)
${\displaystyle d_{1}=\left((t_{1},\,0{,}4),\,(t_{2},0{,}4)\right)}$	${\displaystyle 0{,}4}$	${\displaystyle (1-0{,}3)\cdot 0{,}4+0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}4}$	${\displaystyle (0{,}3^{0}\cdot 0{,}4+0{,}3^{1}\cdot 0{,}4)/(0{,}3^{0}+0{,}3^{1})=0{,}4}$
${\displaystyle d_{2}=\left((t_{1},\,0{,}4),\,(t_{2},0{,}7)\right)}$	${\displaystyle 0{,}4}$	${\displaystyle (1-0{,}3)\cdot 0{,}4+0{,}3\cdot 0{,}7=0{,}49}$	${\displaystyle (0{,}3_{0}\cdot 0{,}4+0{,}3^{1}\cdot 0{,}7)/(0{,}3^{0}+0{,}^{1})=0{,}47}$

Der Ähnlichkeitsgrad zwischen ${\displaystyle d_{1}}$ und ${\displaystyle q_{1}}$ ist bei den drei Modellen gleich, das ist verständlich. Der Unterschied entsteht bei den Ergebnissen von ${\displaystyle d_{2}}$, wobei die von den zwei erweiterten Modellen größer als das bei einfachem Fuzzy-IR-Modell sind, was eher der Erwartung entspricht. Deswegen kann man sagen, dass die beiden Modelle bessere Effektivität beim Auffinden als das einfache Fuzzy-IR-Modell haben.

Zwar mischt das Waller-Kraft-Modell Maximum mit Minimum, aber es beachtet nur diese zwei Termgewichte, was zum Problem bei Abfragen mit mehr als zwei Termen führen kann. Beispiel:

${\displaystyle q_{2}=t_{1}{\text{ OR }}t_{2}{\text{ OR }}t_{3}{\text{ OR }}t_{4}{\text{ OR }}t_{5}}$

${\displaystyle d_{3}=\{(t_{1},\,0{,}1),\,(t_{2},\,0{,}5),\,(t_{3},\,0{,}5),\,(t_{4},\,0{,}5),\,(t_{5},\,0{,}8)\}}$

${\displaystyle d_{4}=\{(t_{1},\,0{,}1),\,(t_{2},\,0{,}2),\,(t_{3},\,0{,}2),\,(t_{4},\,0{,}2),\,(t_{5},\,0{,}8)\}}$

Es ist klar, dass der Ähnlichkeitsgrad zwischen ${\displaystyle d_{3}}$ und ${\displaystyle q_{2}}$ größer als der zwischen ${\displaystyle d_{4}}$ und ${\displaystyle q_{2}}$ ist. Aber nach der Gleichung bei Waller-Kraft-Modell werden gleiche Ergebnisse bei ${\displaystyle d_{3}}$ und ${\displaystyle d_{4}}$ berechnet, welcher Wert für den Parameter ${\displaystyle \gamma }$ auch bestimmt wird, weil es bei diesem Modell nur auf das ${\displaystyle \min }$ und ${\displaystyle \max }$-Termgewicht Rücksicht genommen wird. Somit entsteht das Problem. Im Vergleich dazu ist das Paice-Modell zwar komplexer, aber es berücksichtigt alle Termgewichte bei der Berechnung und vermeidet deswegen dieses Problem.

Die Thesauren und ihre Fuzzy-Versionen sind typische Beispiele für Term-Relationen, wobei die Fuzzy-Relation ${\displaystyle R}$ nicht auf ${\displaystyle T\cup D}$, sondern auf ${\displaystyle T}$ definiert wird. Verschiedene Typen von Fuzzy-Thesauren werden berücksichtigt. Zum Beispiel sieht Reisinger Fuzzy-Äquivalenz und Fuzzy-ordnende Relationen als natürliche Generalisationen von scharf kategorischen und hierarchischen Relationen an.[2] Tahani erwähnt auch partielle Fuzzy-Ordnung.[3] Redecki schlägt die Verwendung von einer Fuzzy-Äquivalenz-Relation zusammen mit einer Teilmenge der elementaren Terme und einer Termgeneralisationsrelation vor.[4]

In der Forschung von Fuzzy-Thesauren werden symmetrische und unsymmetrische Fuzzy-Relationen sowie Fuzzy-Transitivität beachtet, deren Annahme jedoch zu einem Problem führt, weil man in Realität keine Fuzzy-Transitivität direkt finden kann. Dieses Problem ist durch die Berücksichtigung von Fuzzy-Graphen (ungerichtete Graphen) und Digraphen[5] zu lösen. Angegeben ist eine Fuzzy-Relation ${\displaystyle R}$, die nicht transitiv sein muss. Diese Relation lässt sich durch einen Fuzzy-Digraph repräsentieren, und ein „transitive closure“ wird überdacht, ${\displaystyle R^{*}=R\cup R_{2}\cup \dots \cup R_{k}\cup \cdots }$ (${\displaystyle R^{k}=R_{k-1}\circ R}$, wobei ${\displaystyle \circ }$ die ${\displaystyle \max }$-${\displaystyle \min }$-Komposition impliziert). ${\displaystyle R^{*}}$ bedeutet den Grad von Erreichbarkeit auf dem Digraph, und zwar ist ${\displaystyle R*(x,y)}$ der ${\displaystyle \max }$-Wert von ${\displaystyle \alpha }$-Schnitt, wobei ${\displaystyle x}$ auf dem scharfen Digraphen von ${\displaystyle y}$ aus erreichbar ist.

Die obengenannten Operationen und Eigenschaften von Fuzzy-Relationen werden hier zusammengefasst:

1. Angegeben sind zwei Fuzzy-Relationen ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$, die auf ${\displaystyle T}$ definiert werden. Die ${\displaystyle \max }$-${\displaystyle \min }$-Komposition: ${\displaystyle (R\circ S)(x,z)=\max _{y\in T}\min[R(x,y),S(y,z)]}$.
2. Eine Relation ${\displaystyle R}$ auf einer Menge ${\displaystyle T}$ wird bezeichnet als
   1. reflexiv, wenn für alle ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x\in T}$, ${\displaystyle R(x,x)=1}$,
   2. symmetrisch, wenn für alle ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x,y\in T}$, ${\displaystyle R(x,y)=R(y,x)}$,
   3. transitiv, wenn für alle ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x,y\in T}$, ${\displaystyle R(x,y)\leqq \max _{z\in T}\min[R(x,z),R(z,y)]}$.

Verschiedene Forschungen behandeln unter unterschiedlichen Annahmen die Methoden von automatischer Konstruktion der Fuzzy-Relation von Termen oder von Dokumenten. Eine typische Methode dafür ist die Verwendung von Dokument-Term-Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})}$, wobei ${\displaystyle a_{ij}}$ das Gewicht von Term ${\displaystyle t_{j}}$ in dem Dokument ${\displaystyle d_{i}}$ darstellt. Hier wird angenommen: ${\displaystyle \gamma _{j}=\sum _{i}a_{ij}/d_{i}}$ ist die Fuzzy-Menge, die dem Term ${\displaystyle t_{j}}$ entspricht. Eine symmetrische Relation ${\displaystyle R_{s}(t_{j},t_{k})}$ und eine unsymmetrische Relation ${\displaystyle R_{n}(t_{j},t_{k})}$ sind definiert durch

${\displaystyle R_{s}(t_{j},t_{k})=\vert \gamma _{j}\cap \gamma _{k}\vert /\vert \gamma _{j}\cap \gamma _{k}\vert }$,

${\displaystyle R_{n}(t_{j},t_{k})=\vert \gamma _{j}\cap \gamma _{k}\vert /\vert \gamma _{j}\vert }$,

wobei ${\displaystyle \vert \gamma _{j}\vert =a_{1j}+a_{2j}+\dots +a_{nj}}$ die ${\displaystyle \sum }$-Summe ist. Diese Methode basiert auf der Annahme, dass die Bedeutung von den beiden Termen auch ähnlich ist, wenn die zwei Patterns von ${\displaystyle \gamma _{j}}$ und ${\displaystyle \gamma _{k}}$ ähnlich sind. Die Annahme von ${\displaystyle R_{n}(t_{j},t_{k})}$ ist, dass ${\displaystyle \gamma _{j}}$ eine engere Bedeutung als ${\displaystyle \gamma _{k}}$ hat, wenn ${\displaystyle \gamma _{j}}$ der ${\displaystyle \gamma _{k}}$ inklusive ist.

Es gibt zwei Basismethoden von Verwendung der Term-Relationen in Information Retrieval. Wenn eine Term-Relation als ein Netzwerk ermöglicht wird, in dem die Dokumente Terminalknoten sind und eine Abfrage ein Originalknoten ist, wird das Retrieval durch die Verfolgung vom Netzwerk durchgeführt. Andererseits, wenn eine Term-Relation ${\displaystyle R}$ auf ${\displaystyle T}$ zusammen mit einer Fuzzy-Relation ${\displaystyle F(d,t)}$ und einem Fuzzy-Abfrage-Vektor ${\displaystyle q=\sum \nolimits _{j}{\frac {w_{j}}{t_{j}}}}$ angegeben wird, ist eine einfache Standardmethode für Retrieval der Dokumente die Kalkulation von einer Fuzzy-Menge ${\displaystyle \delta =F\circ R\circ q}$ durch die Anwendung von MAX-MIN-Komposition der Fuzzy-Relationen.[6]