Fuchssche Gruppe

Eine Fuchssche Gruppe ist eine diskrete Untergruppe der ${\displaystyle PSL(2;\mathbb {R} )}$, d. h. mit anderen Worten, dass sie aus orientierungserhaltenden Isometrien der oberen komplexen Halbebene besteht.

Das wahrscheinlich bekannteste Beispiel einer Fuchsschen Gruppe ist die Modulgruppe ${\displaystyle PSL(2;\mathbb {Z} )}$. Weitere bekannte Beispiele sind Kongruenzuntergruppen. Man beachte, dass für einen beliebigen Zahlkörper ${\displaystyle K\neq \mathbb {Q} }$ mit Ganzheitsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ die Gruppe ${\displaystyle PSL(2;{\mathcal {O}}_{K})}$ niemals Fuchssch ist, weil ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ dicht in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ liegt.

Man unterscheidet Fuchssche Gruppen erster und zweiter Art. Ein entscheidender Unterschied dieser beiden Typen von Fuchsschen Gruppen ist die geometrische Struktur ihrer Fundamentalbereiche. Eine endlich erzeugte Fuchssche Gruppe ist genau dann eine Fuchssche Gruppe erster Art, wenn das hyperbolische Volumen ihres Fundamentalbereiches endlich ist.

• Quasifuchssche Gruppe
• Kleinsche Gruppe

• Svetlana Katok: Fuchsian Groups. The University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1992, ISBN 0-226-42583-5.
• Donal O’Shea: Poincarés Vermutung. Die Geschichte eines mathematischen Abenteuers. S. Fischer, Frankfurt am Main 2007, ISBN 978-3-10-054020-1.
• Toshitsune Miyake: Modular Forms. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-50268-8.