Fußpunktkreis

Zu einem Dreieck ${\displaystyle ABC}$ und einem Punkt ${\displaystyle P}$ erhält man auf den (verlängerten) Dreiecksseiten drei Fußpunkte ${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$ des Punktes ${\displaystyle P}$. Der durch diese drei Fußpunkte definierte Kreis wird als Fußpunktkreis bezeichnet, er ist damit der Umkreis des Fußpunktdreiecks ${\displaystyle P_{a}P_{b}P_{c}}$.[1][2]

Für den Radius ${\displaystyle r}$ des Fußpunktkreises eines Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ mit Punkt ${\displaystyle P}$ gilt die folgende Formel, in der Radius des Umkreises des Dreiecks mit ${\displaystyle R}$ und dessen Mittelpunkt mit ${\displaystyle O}$ bezeichnet sind:[2]

${\displaystyle r={\frac {|PA|\cdot |PB|\cdot |PC|}{2\cdot (R^{2}-|PO|^{2})}}}$

Der Nenner in der obigen Formel wird 0, wenn der Punkt ${\displaystyle P}$ auf dem Umkreis des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ liegt. Dies lässt sich als ein zu einer Geraden entarteter Kreis mit unendlichem Radius deuten. Diese gemeinsame Gerade, auf der die drei Fußpunkte ${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$ in diesen Fall liegen, ist die Simson-Gerade. Liegt der Punkt ${\displaystyle P}$ auf dem Mittelpunkt des Inkreises, so ist der Fußpunktkreis mit dem Inkreis identisch. Liegt er auf dem Höhenschnittpunkt, so entspricht er dem Feuerbachkreis.[3]

Wenn der Punkt ${\displaystyle P}$ nicht auf dem Umkreis des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ liegt, dann besitzt der zu ihm isogonal konjugierte Punkt ${\displaystyle Q}$ denselben Fußpunktkreis. Die sechs Fußpunkte ${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$ und ${\displaystyle Q_{a},Q_{b},Q_{c}}$ liegen damit auf einem gemeinsamen Kreis, dessen Mittelpunkt stimmt mit dem Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle PQ}$ überein.[1]

Der Satz von Griffiths besagt, dass alle Punkte ${\displaystyle P}$, die auf einer gemeinsamen Geraden durch den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ des Umkreises von Dreieck ${\displaystyle ABC}$ liegen, Fußpunktkreise besitzen, die sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden.[4]

Zu vier Punkten in der Ebene, von denen keine drei auf einer gemeinsamen Geraden liegen, kann man vier zugehörige Fußpunktkreise bestimmen, indem man mit je drei Punkten ein Dreieck ${\displaystyle ABC}$ bildet und der vierte Punkt die Rolle des Punktes ${\displaystyle P}$ einnimmt. Diese vier Fußpunktkreise besitzen einen gemeinsamen Schnittpunkt.[3]

Commons: Pedal circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Pedal Circle of Isogonal Conjugates - interactive illustration in GeoGebra
• pedal triangle and pedal circle - interactive illustration

1. Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 67–75
2. Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007 (reprint), ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 135–144, 155, 240
3. Eric W. Weisstein: Pedal Circle. In: MathWorld (englisch).
4. Eric W. Weisstein: Griffiths' Theorem. In: MathWorld (englisch).