Frobenius-Reziprozität

Mit Hilfe der Einschränkung (engl.: restriction) kann man aus einer Darstellung ${\displaystyle \phi }$ einer Gruppe ${\displaystyle G}$ eine Darstellung ${\displaystyle {\text{Res}}(\phi )}$ einer Untergruppe ${\displaystyle H}$ erhalten. Umgekehrt kann man aus einer gegebenen Darstellung ${\displaystyle \psi }$ einer Untergruppe ${\displaystyle H}$ die sogenannte induzierte Darstellung ${\displaystyle {\text{Ind}}(\psi )}$ der ganzen Gruppe ${\displaystyle G}$ erhalten.

Für Darstellungen und ihre Charaktere wie auch allgemeiner für Klassenfunktionen ist ein Skalarprodukt definiert. Die allgemeine Form der Frobeniusreziprozität verwendet das Skalarprodukt von Klassenfunktionen.

Sei ${\displaystyle G}$ eine endliche Gruppe und ${\displaystyle H\subset G}$ eine Untergruppe. Seien ${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(H)}$ ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ Klassenfunktionen, dann gilt

${\displaystyle \langle \psi ,{\text{Res}}\varphi \rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}\psi ,\varphi \rangle _{G}}$

Die Aussage gilt insbesondere für das Skalarprodukt von Charakteren von Darstellungen.

Beweis

Da sich jede Klassenfunktion als Linearkombination irreduzibler Charaktere schreiben lässt, und ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ eine Bilinearform ist, können wir ohne Einschränkung ${\displaystyle \psi }$ bzw. ${\displaystyle \varphi }$ als Charakter einer irreduziblen Darstellung von ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle W}$ bzw. von ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle V}$ annehmen. Wir setzen ${\displaystyle \psi (s)=0}$ für ${\displaystyle s\in G\setminus H.}$
Dann gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\text{Ind}}(\psi ),\varphi \rangle _{G}&={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}{\text{Ind}}(\psi )(t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}{\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G \atop s^{-1}ts\in H}\psi (s^{-1}ts)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}{\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (s^{-1}ts)\varphi ((s^{-1}ts)^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}{\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in H}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in H}\psi (t){\text{Res}}(\varphi )(t^{-1})\\&=\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}\end{aligned}}}$

Dabei haben wir nur die Definition der Induktion auf Klassenfunktionen eingesetzt und die Eigenschaften der Charaktere ausgenutzt.${\displaystyle \Box }$

Alternativer Beweis

In der alternativen Beschreibung der induzierten Darstellung über die Gruppenalgebra, ist die Frobeniusreziprozität ein Spezialfall der Gleichung für den Wechsel zwischen Ringen:

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {C} [H]}(W,U)={\text{Hom}}_{\mathbb {C} [G]}(\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,U).}$

Diese Gleichung ist per definitionem äquivalent zu

${\displaystyle \langle W,{\text{Res}}(U)\rangle _{H}=\langle W,U\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(W),U\rangle _{G}.}$

Und da diese Bilinearform mit der Bilinearform auf den dazugehörigen Charakteren übereinstimmt, folgt der Satz ganz ohne Nachrechnen.${\displaystyle \Box }$

Die Frobenius-Reziprozität überträgt sich mit der modifizierten Definition des Skalarproduktes und der Bilinearform auf kompakte Gruppen, wobei der Satz anstatt für Klassenfunktionen hier für quadratisch integrierbare Funktionen auf ${\displaystyle G}$ gilt und die Untergruppe ${\displaystyle H}$ abgeschlossen sein muss.

• Frobenius reciprocity (nLab)