Friedrichssche Erweiterung

Wir betrachten einen linearen Operator ${\displaystyle A}$, der auf einem dichten Teilraum eines Hilbertraums ${\displaystyle H}$ definiert ist. Dieser Teilraum heißt der Definitionsbereich von ${\displaystyle A}$ und wird mit ${\displaystyle D(A)}$ bezeichnet. Unter bestimmten Umständen, um die es in diesem Artikel geht, kann man den Operator ${\displaystyle A}$ zu einem auf einem ${\displaystyle D(A)}$ umfassenden Teilraum erweitern, so dass der erweiterte Operator selbstadjungiert ist.

Ein dicht-definierter Operator ${\displaystyle A}$ heißt halb-beschränkt, falls es eine reelle Zahl ${\displaystyle c}$ gibt, so dass ${\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}}$ für alle ${\displaystyle \xi \in D(A)}$. Offenbar sind positive Operatoren halb-beschränkt und halb-beschränkte Operatoren sind symmetrisch, denn nach Definition sind alle ${\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle }$ reell.

In der Quantenmechanik auftretende Operatoren sind häufig halb-beschränkt, das ${\displaystyle c}$ steht dann etwa für eine untere Energie-Schranke. Es stellt sich dann in natürlicher Weise die Frage, ob ein solcher Operator eine selbstadjungierte Erweiterung hat, diese ist dann eine quantenmechanische Observable.

Der Begriff des halb-beschränkten Operators wurde zuerst von Aurel Wintner eingeführt. Später hat Kurt Friedrichs die Theorie der halb-beschränkten Operatoren weiterentwickelt.[1]

Sei ${\displaystyle A}$ ein halb-beschränkter Operator mit ${\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}}$ für alle ${\displaystyle \xi \in D(A)}$ und ${\displaystyle \lambda }$ sei eine reelle Zahl mit ${\displaystyle \lambda +c>0}$. Sei

${\displaystyle [\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\langle A\xi ,\eta \rangle +\lambda \langle \xi ,\eta \rangle }$ für ${\displaystyle \xi ,\eta \in D(A)}$.

Dann ist ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }}$ eine positiv definite Form auf ${\displaystyle D(A)}$ und man kann daher die Norm ${\displaystyle \|\xi \|_{\lambda }:={\sqrt {[\xi ,\xi ]_{\lambda }}}}$ auf ${\displaystyle D(A)}$ definieren. ${\displaystyle D(A)}$ ist mit dieser Norm in der Regel kein vollständiger Raum; das führt zu folgender Konstruktion.

${\displaystyle H_{\lambda }:=\{\xi \in H;{\rm {Es\,gibt\,eine\,Folge}}\,(\xi _{n})_{n}\,{\rm {in}}\,D(A)\,{\rm {mit}}\|\xi _{n}-\xi \|{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0\,{\rm {und}}\,\|\xi _{n}-\xi _{m}\|_{\lambda }{\stackrel {n,m\to \infty }{\longrightarrow }}0\}}$.

Beachte, dass sich die erste Grenzwert-Bedingung auf die Hilbertraum-Norm auf ${\displaystyle H}$ bezieht. Eine Folge ${\displaystyle (\xi _{n})_{n}}$ in der Definition von ${\displaystyle H_{\lambda }}$ heißt eine approximierende Folge für ${\displaystyle \xi \in H_{\lambda }}$. Offenbar ist ${\displaystyle D(A)\subset H_{\lambda }}$, denn für ${\displaystyle \xi \in D(A)}$ kann man als approximierende Folge die konstante Folge ${\displaystyle \xi _{n}=\xi }$ wählen. Man kann nun folgende Aussagen beweisen:

• Sind ${\displaystyle \xi ,\eta \in H_{\lambda }}$ mit approximierenden Folgen ${\displaystyle (\xi _{n})_{n}}$ und ${\displaystyle (\eta _{n})_{n}}$, so existiert der Limes ${\displaystyle [\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\lim _{n\to \infty }[\xi _{n},\eta _{n}]_{\lambda }}$ und setzt die auf ${\displaystyle D(A)}$ definierte Form fort.
• ${\displaystyle H_{\lambda }}$ ist mit der positiv definiten Form ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }}$ ein Hilbertraum.
• Ist auch ${\displaystyle \mu }$ eine reelle Zahl mit ${\displaystyle \mu +c>0}$, so ist ${\displaystyle H_{\lambda }=H_{\mu }\subset H}$ als Mengen, die durch ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }}$ bzw. ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\mu }}$ definierten Normen sind äquivalent.

Der Raum ${\displaystyle H_{\lambda }}$ hängt also nur von ${\displaystyle A}$ und nicht vom speziellen ${\displaystyle \lambda }$ ab; er wird daher mit ${\displaystyle H_{A}}$ bezeichnet und heißt der energetische Raum von ${\displaystyle A}$.

Sei ${\displaystyle A}$ ein halb-beschränkter Operator. Dann ist ${\displaystyle A}$ symmetrisch, das heißt, es gilt ${\displaystyle A\subset A^{*}}$, wobei ${\displaystyle A^{*}}$ der adjungierte Operator ist. Definiert man

${\displaystyle A_{F}\xi$ :=A^{*}\xi } für ${\displaystyle \xi \in D(A_{F}):=H_{A}\cap D(A^{*})}$,

so ist ${\displaystyle A_{F}}$ ein selbstadjungierter Operator, der ${\displaystyle A}$ erweitert. ${\displaystyle A_{F}}$ heißt die Friedrichssche Erweiterung von ${\displaystyle A}$.

Man beachte, dass im Allgemeinen weder ${\displaystyle A}$ noch ${\displaystyle A^{*}}$ selbstadjungiert ist. Erst durch obige geschickte Wahl des Definitionsbereichs erhält man einen zwischen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle A^{*}}$ gelegenen selbstadjungierten Operator, der die Einschränkung von ${\displaystyle A^{*}}$ auf diesem Teilraum ist. Es ist daher ${\displaystyle A\subset A_{F}\subset A^{*}}$

• Hans Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, 1980.

1. Franz Rellich: @1@2Vorlage:Toter Link/imu2.zib.deHalbbeschränkte Differentialoperatoren höherer Ordnung (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im Januar 2021. Suche in Webarchiven) (PDF; 702 kB), 1954, abgerufen am 17. Juni 2011