Fredholm-Operator

Das Bild ${\displaystyle \mathrm {ran} \;(A)}$ eines Fredholm-Operators ist ein abgeschlossener Unterraum.

Ist ${\displaystyle A\colon X\to Y}$ ein Fredholm-Operator, dann hat der endlich-dimensionale Unterraum ${\displaystyle \ker(A)}$ einen abgeschlossenen Komplementärraum ${\displaystyle W}$ in ${\displaystyle X}$, d. h., es gilt ${\displaystyle X=\ker(A)\oplus W}$. Die Einschränkung ${\displaystyle {\widetilde {A}}\colon W\to \operatorname {ran} (A)}$ von ${\displaystyle A}$ ist dann offenbar ein bijektiver Operator, dessen Inverse nach dem Satz vom stetigen Inversen ebenfalls beschränkt ist. Der Operator ${\displaystyle A}$ ist also "bis auf endlich viele Dimensionen" stetig invertierbar. Viele der folgenden Eigenschaften lassen sich damit beweisen.

Die Komposition ${\displaystyle A\circ B}$ zweier Fredholm-Operatoren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ist wieder ein Fredholm-Operator und für den Index gilt[1]

${\displaystyle \operatorname {ind} (A\circ B)=\operatorname {ind} (A)+\operatorname {ind} (B)}$.

Sei ${\displaystyle A'\colon Y'\to X'}$ der zum Fredholm-Operator ${\displaystyle A}$ duale Operator. Dann gilt ${\displaystyle \dim(\ker A')=\operatorname {codim} (\mathrm {ran} (A))}$ und ${\displaystyle \operatorname {codim} (\mathrm {ran} (A'))=\dim(\ker A)}$. Daher ist auch ${\displaystyle A'}$ ein Fredholm-Operator und für seinen Index gilt ${\displaystyle \operatorname {ind} (T')=-\operatorname {ind} (T)}$.[2]

Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator ${\displaystyle A\colon X\to Y}$ genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$ und kompakte Operatoren ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ gibt, so dass ${\displaystyle AB_{1}=I_{Y}-K_{1}}$ und ${\displaystyle B_{2}A=I_{X}-K_{2}}$ gilt, das heißt wenn ${\displaystyle A}$ modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator ${\displaystyle A\colon X\to X}$ genau dann ein Fredholm-Operator, wenn seine Klasse ${\displaystyle [A]_{{\mathcal {C}}(X)}}$ in der Calkin-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)/{\mathcal {C}}(X)}$ invertierbar ist.

Für jeden Fredholm-Operator ${\displaystyle A}$ und jeden kompakten Operator ${\displaystyle K}$ ist ${\displaystyle A+K}$ ebenfalls ein Fredholm-Operator mit gleichem Fredholm-Index wie ${\displaystyle A}$. Daher sagt man, dass der Index eines Fredholm-Operators invariant unter kompakten Störungen ist. Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form ${\displaystyle I+K}$ für einen kompakten Operator ${\displaystyle K}$ ein Fredholm-Operator vom Index 0.

Die Menge ${\displaystyle \Phi (X,Y)}$ der Fredholm-Operatoren zwischen den Banachräumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ ist offen in der Menge der beschränkten Operatoren ${\displaystyle L(X,Y)}$. Auf jeder Zusammenhangskomponente ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle \Phi (X,Y)}$ ist der Index konstant: ${\displaystyle \operatorname {ind} (A)=n_{U}\in \mathbb {Z} }$ für alle ${\displaystyle A\in U}$. Tatsächlich ist die Abbildung ${\displaystyle U\mapsto n_{U}}$ bijektiv. Daraus ergeben sich sofort die folgenden Eigenschaften des Index:

• Die Indexabbildung ${\displaystyle \operatorname {ind} \colon \Phi (X,Y)\to \mathbb {Z} }$ ist stetig.
• Der Index ist invariant unter kleinen Störungen, das heißt, zu ${\displaystyle A\in \Phi (X,Y)}$ gibt es ${\displaystyle \varepsilon >0}$, so dass für alle ${\displaystyle S\in L(X,Y)}$ mit ${\displaystyle \|S\|<\varepsilon }$ gilt: ${\displaystyle \operatorname {ind} (A+S)=\operatorname {ind} (A)}$.
• Der Index ist eine homotopie-invariante Zahl.[3]: Ist ${\displaystyle \psi \colon [0,1]\to \Phi (X,Y)}$ stetig, dann haben ${\displaystyle \psi (0)}$ und ${\displaystyle \psi (1)}$ den gleichen Index.

Der Fredholm-Index, als Abbildung von der Menge der Fredholm-Operatoren in die Menge der ganzen Zahlen, ist surjektiv.[4]

Ist ${\displaystyle A\colon X\to X}$ ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$, so dass für alle ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle 0<|\lambda |<\varepsilon }$

1. ${\displaystyle \dim \ker(A-\lambda I)\equiv \mathrm {const} \leq \dim \ker A}$ und
2. ${\displaystyle \mathrm {codim} \,\mathrm {ran} (A-\lambda I)\equiv \mathrm {const} \leq \mathrm {codim} \,\mathrm {ran} A}$

gilt.[5] Insbesondere ist ${\displaystyle A-\lambda I}$ also ein Fredholm-Operator. Da der Fredholm-Index stetig ist, folgt daraus ${\displaystyle \mathrm {ind} (A-\lambda I)=\mathrm {ind} (A)}$. Bewiesen wurde das Punctured Neighbourhood Theorem von Israel Gohberg.[6]

Jeder gleichmäßig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm-Operator.

Sei ${\displaystyle n\geq 1}$ und ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ein Gebiet mit Lipschitz-Rand. Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann-Randbedingungen ${\displaystyle A\colon H^{1,2}(\Omega )\to H^{1,2}(\Omega )'}$ definiert durch

${\displaystyle A(u)(v):=\int _{\Omega }\sum _{i,j}\partial _{i}va_{ij}\partial _{j}u}$

für ${\displaystyle u,v\in H^{1,2}(\Omega )}$ ein Fredholm-Operator.

Ein klassisches Beispiel eines Fredholm-Operators ist der Operator

${\displaystyle A:=I+T}$,

wobei ${\displaystyle I}$ der Identitätsoperator und ${\displaystyle T}$ ein kompakter Operator ist. Auf dem Banachraum der stetigen Funktionen ${\displaystyle C([a,b])}$ beziehungsweise auf dem der quadratintegrierbaren Funktionen ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ ist der Operator ${\displaystyle A}$ von der Form

${\displaystyle (A\phi )(x)=\phi (x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\phi (y)\mathrm {d} y}$,

wobei der Integralkern ${\displaystyle k}$ eine stetige beziehungsweise quadratintegrierbare Funktion ist. Dieser Fredholm-Operator hat den Index 0. In der Fredholm-Theorie werden Gleichungen des Typs ${\displaystyle A\phi (x)=f(x)}$ untersucht. Die Fredholm-Alternative als ein zentrales Resultat der Fredholm-Theorie gibt eine Antwort, unter welchen Bedingungen Gleichungen dieses Typs lösbar sind.

Der Laplace-Operator

${\displaystyle \Delta f=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}^{2}}}$

definiert auf dem Sobolev-Raum ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ der zweimal schwach differenzierbaren quadratische integrierbaren Funktionen ist ein stetiger elliptischer Operator. Daher ist er auch ein Fredholm-Operator. Da er auch selbstadjungiert ist, hat er den Fredholm-Index 0.

Betrachtet man den Laplace-Operator im distributionellen Sinn auf ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$, ist er kein stetiger Operator und somit kein Fredholm-Operator bezüglich der obigen Definition. Im Sinne von unbeschränkten Operatoren, wie dies später im Artikel noch erklärt wird, ist er allerdings weiterhin ein Fredholm-Operator.

Der Kreis (als ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ gedacht) kann als eindimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit verstanden werden. Ein stetiger elliptischer Differentialoperator erster Ordnung auf den glatten Funktionen vom Kreis in die komplexen Zahlen ist durch

${\displaystyle D={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-2\pi i\lambda }$

für eine komplexe Konstante ${\displaystyle \lambda }$ gegeben. Der Kern von ${\displaystyle D}$ ist der von den Termen der Form ${\displaystyle \exp(i2\pi \,\lambda \,x)}$ aufgespannte Raum, falls ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} }$, und 0 in den anderen Fällen. Der Kern des adjungierten Operators ist ein ähnlicher Raum, nur wird ${\displaystyle \lambda }$ durch sein komplex-konjugiertes ersetzt. Der Fredholm-Operator ${\displaystyle D}$ hat damit den Index 0. Dieses Beispiel zeigt, dass Kern und Kokern eines elliptischen Operators unstetig springen können, falls man den elliptischen Operator so variiert, dass die oben erwähnten Terme erfasst werden. Da die Sprünge in den Dimensionen von Kern und Kokern aber gleich sind, ändert sich ihre Differenz, der Index, stetig.