Fréchet-Verteilung

Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen positiven reellen Formparameter besitzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Verteilungs- und Dichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter die Verteilungsfunktion

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

Momente und Median

Im Folgenden sei eine -Fréchet-verteilten Zufallsvariable und die Gamma-Funktion.

Median

Der Median ist

Existenz von Momenten

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn .

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist

.

Varianz

Die Varianz ist

Schiefe

Die Schiefe ist

Kurtosis

Die Kurtosis ist

Zusammenhang mit anderen Verteilungen

Ist Fréchet-verteilt mit Parameter , so ist Gumbel-verteilt mit Parametern und .

Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

Anwendung

Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur

  • J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.
  • J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2004, ISBN 3-540-40558-5.

Einzelnachweise

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