Fourier-Transformation

Die Kompression von digitalen Daten auf Basis der Fourier-Transformation ist eine zentrale Technologie für Kommunikation, Datenaustausch und Streaming von Medien im (mobilen) Internet.[1]

Beispielsweise wird zur Kompression von Audio-Daten (etwa um eine MP3 Datei zu erzeugen) das Audio-Signal in den Frequenz-Raum transformiert. Die Transformation erfolgt über das Verfahren der (modifizierten) diskreten Kosinustransformation, welches der schnellen Fourier-Transformation ähnelt. Im Frequenzraum werden dann alle Frequenzen, die Menschen nicht hören können oder die nur wenig zum subjektiven Empfinden des Klangs beitragen, entfernt. Das Ergebnis wird im letzten Schritt aus dem Frequenz-Raum rücktransformiert – daraus erhält man, auf Grund des verringerten Frequenzumfangs, eine deutlich kleinere (komprimierte) Audio-Datei.[2]

In vergleichbaren Verfahren können Bilder (JPEG Kompression) oder Filme (MPEG-4) komprimiert werden.

In der Signalanalyse werden mittels Fourier-Transformation Frequenzanalysen von Signalen durchgeführt. Hierzu wird das Verfahren der diskreten Fourier-Transformation bzw. der schnellen Fourier-Transformation genutzt. Ein Beispiel für die Vielzahl von technischen Anwendungen ist die Nutzung der Signalanalyse bei der Erstellung von Bildern mittels Magnetresonanztomographie.[3]

Der reine Kammerton ${\displaystyle {\bar {a}}}$ ist eine Sinuswelle mit der Frequenz 440 Hz, also 440 Schwingungen pro Sekunde. Eine ideale Stimmgabel gibt genau dieses Sinussignal ab. Der gleiche Ton gespielt mit einem anderen Musikinstrument (nicht-ideale Stimmgabel), ist eine Zusammensetzung/Überlagerung aus Wellen verschiedener Wellenlängen. Diese sind bezüglich ihrer Frequenz normalerweise ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Grundtons. Die Zusammensetzung und jeweilige Amplitude dieser Wellen ist bestimmend für die Klangfarbe jedes Musikinstruments. Nur die Welle mit der größten Wellenlänge, der Grundton des Signals, hat dabei die Frequenz 440 Hz. Die anderen Wellen, die Obertöne, haben höhere Frequenzen.

An der Fourier-Transformierten des Tonsignals kann man direkt die verschiedenen Frequenzen/Wellenlängen der Wellenzusammensetzung ablesen. Diese Eigenschaft kann man beispielsweise für die automatische Erkennung von Tonhöhen und Musikinstrumenten in einem Tonsignal ausnutzen.

Zur Veranschaulichung sei ein Puls-Signal mit zwei überlagerten Frequenzen gegeben. Die Funktion, die dieses Signal darstellt, besteht beispielhaft aus der Summe zweier Cosinus-Funktionen, multipliziert mit einer Gauß-Kurve zur Darstellung des An- und Abklingens:

${\displaystyle f(t)=(10\cdot \cos(2\pi (5\cdot t))+(5\cdot \cos(2\pi (40\cdot t))))\cdot \mathrm {e} ^{-\pi t^{2}}}$

Interpretiert man die Einheit der Zeitachse t als Sekunden, dann haben die beiden Frequenzen einen Wert von 5 Hz bzw. 40 Hz bei einer Amplitude von 10 bzw. 5.

Durch die Fourier-Transformation transformiert man die Funktion in den Frequenz-Raum – d. h., die X-Achse im Diagramm der Fourier-Transformierten stellt eine Frequenz dar. Die Fourier-Transformierte der Beispiel-Funktion zeigt die beiden Frequenz-Anteile als Spitze beim jeweiligen Frequenzwert (5 bzw. 40). Der Wert der Fourier-Transformierten an der Stelle der jeweiligen Frequenz ist ein Maß für die Amplitude der überlagerten Frequenzen in der Beispiel-Funktion. Hier dargestellt ist der absolute Betrag der Fourier-Transformierten bei normierter X-Achse (zur Vereinfachung ist nur der positive Teil der Transformierten gezeigt):

• 
  Funktion des Puls-Signals f(t)
• 
  Positiver Teil des absoluten Betrags der Fourier-Transformierten

Dies illustriert die Anwendung der Fourier-Transformation zur Analyse der Frequenzanteile von Signalen – hieraus leitet sich auch das Synonym Spektralfunktion für die Fourier-Transformierte ab.

Es soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

${\displaystyle f(t)=x_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot \cos(\omega _{\rm {s}}t)\Theta (t)}$

oder in komplexer Schreibweise:

${\displaystyle f(t)=x_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t})\Theta (t)\;.}$

Hier ist ${\displaystyle x_{0}}$ die Amplitude und ${\displaystyle \omega _{\rm {s}}}$ die Kreisfrequenz der Schwingung, ${\displaystyle \tau }$ die Zeit, in der die Amplitude um den Faktor ${\displaystyle 1/e}$ abfällt, und ${\displaystyle \Theta (t)}$ die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\omega )=({\mathcal {F}}f)(\omega )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-t/\tau }\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}\right)\Theta (t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t/\tau }\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}\right)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{\infty }\left(\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )\right)}+\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )\right)}\right)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left[-{\frac {1}{1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )}}\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )\right)}-{\frac {1}{1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )}}\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )\right)}\right]_{0}^{\infty }\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )}}+{\frac {1}{1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )}}\right)\\&={\frac {x_{0}}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1/\tau +\mathrm {i} \omega }{(1/\tau +\mathrm {i} \omega )^{2}+\omega _{\rm {s}}^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Die Fourier-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ist ein linearer Operator. Das heißt, es gilt ${\displaystyle {\mathcal {F}}(a\cdot f+b\cdot g)=a\cdot {\mathcal {F}}(f)+b\cdot {\mathcal {F}}(g)}$.

Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Operator vom Raum der integrierbaren Funktionen ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ in den Raum der Funktionen ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$, die im Unendlichen verschwinden. Mit ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für ${\displaystyle |x|\to \infty }$ verschwinden. Die Tatsache, dass die Fourier-Transformierten im Unendlichen verschwinden, ist auch als Lemma von Riemann-Lebesgue bekannt. Außerdem gilt die Ungleichung

${\displaystyle \|{\mathcal {F}}f\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}}}\|f\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}}$.

Sei ${\displaystyle f\in S(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ eine Schwartz-Funktion und ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ein Multiindex. Dann gilt

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}f\in S(\mathbb {R} ^{n})}$ und ${\displaystyle D^{\alpha }({\mathcal {F}}f)=(-{\rm {i}})^{|\alpha |}{\mathcal {F}}(x^{\alpha }f)}$.
• ${\displaystyle ({\mathcal {F}}(D^{\alpha }f))(\xi )={\rm {i}}^{|\alpha |}\xi ^{\alpha }({\mathcal {F}}f)(\xi )}$.

Die Dichtefunktion

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\|x\|^{2}}}$

mit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ der (${\displaystyle n}$-dimensionalen) Gauß’schen Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fourier-Transformation. Das heißt, es gilt für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Gleichung

${\displaystyle ({\mathcal {F}}\varphi )(x)=\varphi (x)}$.

Insbesondere ist also ${\displaystyle \varphi }$ eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation zum Eigenwert ${\displaystyle 1}$. Mit Hilfe des Residuensatzes oder mit Hilfe partieller Integration und Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung kann in diesem Fall das Fourier-Integral ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}x\cdot \xi }\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\mathrm {d} x}$ bestimmt werden.

Für ${\displaystyle f\in S(\mathbb {R} ^{n})}$ gilt für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Gleichung

${\displaystyle ({\mathcal {F}}^{2}f)(x)=({\mathcal {F}}({\mathcal {F}}f))(x)=f(-x)}$.

Äquivalent lässt sich dies auf dem Schwartzraum ${\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})}$ als Operatorgleichung

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}}}$

schreiben, wobei

${\displaystyle {\mathcal {P}}:f\mapsto (x\mapsto f(-x))}$

den Paritätsoperator bezeichnet.

Sei ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ eine integrierbare Funktion derart, dass auch ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ gilt. Dann gilt die Rücktransformation

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(f))(x)=f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tx}{\mathcal {F}}(f)(t)\,\mathrm {d} t.}$

Diese wird auch Fouriersynthese genannt. Auf dem Schwartz-Raum ${\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})}$ ist die Fouriertransformation ein Automorphismus.

Das Faltungstheorem für die Fourier-Transformation besagt, dass die Faltung zweier Funktionen durch die Fourier-Transformation in ihrem Bildraum in eine Multiplikation reeller Zahlen überführt wird. Für ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ gilt also

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)=(2\pi )^{\tfrac {n}{2}}\,{\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)}$.

Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt[4]

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)*{\mathcal {F}}(g)=(2\pi )^{\tfrac {n}{2}}{\mathcal {F}}(f\cdot g)}$.

Für eine Funktion ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist die Fouriertransformation mittels eines Dichtheitsargumentes definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)(\xi )=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}\int _{B_{r}(0)}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x}$.

Die Konvergenz ist im Sinne von ${\displaystyle L^{2}}$ zu verstehen und ${\displaystyle B_{r}(0)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq r\}}$ ist die Kugel um den Ursprung mit Radius ${\displaystyle r}$. Für Funktionen ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ stimmt diese Definition mit der aus dem ersten Abschnitt überein. Da die Fouriertransformation bezüglich des ${\displaystyle L^{2}}$-Skalarproduktes unitär ist (s. u.) und ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ dicht liegt, folgt, dass die Fouriertransformation ein isometrischer Automorphismus des ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist. Dies ist die Aussage des Satzes von Plancherel.

Seien ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ und ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$. Für ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ und es gilt

${\displaystyle \|{\mathcal {F}}(f)\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {1}{(2\pi )^{n\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}\right)}}}\|f\|p(\mathbb {R} ^{n})}$.

Die Fourier-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ hat also eine Fortsetzung zu einem stetigen Operator ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$, der durch

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)(\xi )=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{B_{r}(0)}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x}$

beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von ${\displaystyle L^{q}}$ zu verstehen.

Falls die Funktion ${\displaystyle f}$ schwach differenzierbar ist, gibt es eine Differentiationsregel analog zu denen für Schwarzfunktionen. Sei also ${\displaystyle f\in W^{k,2}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ eine k-mal schwach differenzierbare L²-Funktion und ${\displaystyle \alpha }$ ein Multiindex mit ${\displaystyle |\alpha |\leq k}$. Dann gilt

${\displaystyle {\mathcal {F}}(D^{\alpha }f)(\xi )=\mathrm {i} ^{|\alpha |}\xi ^{\alpha }{\mathcal {F}}(f)(\xi )}$.

Die Fourier-Transformation ist bezüglich des komplexen ${\displaystyle L^{2}}$-Skalarproduktes ein unitärer Operator, das heißt, es gilt

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}(f),g\rangle _{L^{2}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {{\mathcal {F}}(f)}}(x)g(x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {f}}(x){\mathcal {F}}^{-1}(g)(x)\mathrm {d} x=\langle f,{\mathcal {F}}^{-1}(g)\rangle _{L^{2}}.}$

Damit liegt das Spektrum der Fourier-Transformation auf der Einheitskreislinie. Im eindimensionalen Fall (${\displaystyle n=1}$) bilden ferner die Hermite-Funktionen ${\displaystyle \left(h_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ im Raum ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$ ein vollständiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen zu den Eigenwerten ${\displaystyle \left(-\mathrm {i} \right)^{n}}$.[5]