Fourier-Analysis

Jede stetig differenzierbare Funktion, die auf dem Intervall ${\displaystyle [0,T]}$ definiert ist, lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln, das heißt, beide Seiten der Transformation existieren. Mit der Grundfrequenz ${\displaystyle F=1/T}$ und den Kreisfrequenzen ${\displaystyle \omega _{k}=k(2\pi F)}$ gilt:

${\displaystyle {\hat {x}}_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{T}x(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,\omega _{k}t}\mathrm {d} \,t\quad {\text{und}}\quad x(t)={{\sqrt {2\pi }}F}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {x}}_{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\omega _{k}t}}$.

Es können allgemeinere Typen von Funktionen in eine Fourier-Reihe entwickelt werden, so abschnittsweise stetige, beschränkte Funktionen oder allgemeiner messbare quadratintegrable Funktionen.

[2] Bei einem periodischen Polygonzug ${\displaystyle x(t)}$ (Punkte durch gerade Linien verbunden) liefern die Knick- und eventuell vorhandene Sprungstellen die Beiträge zu den Fourierkoeffizienten

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{{\text{i}}\pi k}}\left(\sum _{k=1}^{r}s_{i}{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega _{k}t_{i}}+{\frac {1}{{\text{i}}\omega _{k}}}\sum _{k=1}^{r'}s'_{i}{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega _{k}t'_{i}}\right)}$ für ${\displaystyle k=1,2,\dots ,\infty }$.

Mit diesen und dem Mittelwert einer Periode

${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{2T}}\sum _{i=1}^{n-1}(x_{i}^{+}+x_{i+1}^{-})(t_{i+1}-t_{i})}$

lässt sich die Ausgangsfunktion als die harmonische Summe

${\displaystyle x(t)=x_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|\cos \left(\omega _{k}t+\arg c_{k}\right)}$

synthetisieren. Die Abszissen ${\displaystyle t_{i}}$ der ${\displaystyle n}$ Stützwerte ${\displaystyle x_{i}}$ (bei Sprüngen: Stützwertpaare ${\displaystyle x_{i}^{-}}$ und ${\displaystyle x_{i}^{+}}$) müssen in derselben Periode liegen, aufsteigend geordnet sein und ${\displaystyle t_{n}<t_{1}+T}$ erfüllen.

Die Wertsprünge

${\displaystyle s_{i}=x_{i}^{+}-x_{i}^{-}}$

an den ${\displaystyle r}$ Sprungstellen werden jeweils als Differenz ihres rechts- und linksseitigen Grenzwerts ${\displaystyle x_{i}^{+}}$ bzw. ${\displaystyle x_{i}^{-}}$ berechnet, die Ableitungssprünge

${\displaystyle s'_{i}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}(t_{i}'^{+})-{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}(t_{i}'^{-})}$

an den ${\displaystyle r'}$ Knickstellen analog als Differenz der rechts- und linksseitigen ersten Ableitung.

Die Koeffizienten ${\displaystyle c_{k}}$ betragen das ${\displaystyle {\sqrt {2/\pi }}}$-fache der ${\displaystyle {\hat {x}}_{k}}$-Werte; bei dieser Eichung der Fourierkoeffizienten sind die Amplituden der Harmonischen gleich den Beträgen von ${\displaystyle c_{k}}$.

Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t\omega }\{x(t)\}={\hat {x}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t}$.

Die Rücktransformation lautet dazu:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega t}^{-1}\{{\hat {x}}(\omega )\}=x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {x}}(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} \omega }$.

In der Literatur findet man auch andere Definitionen, die als Vorfaktor statt ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ nur ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}}$ oder 1 haben. Dies hängt von den jeweils verwendeten Normierungskonventionen ab. Die hier verwendete Variante hat den ästhetischen Vorteil, dass der Vorfaktor bei Hin- und Rücktransformation gleich ist. Außerdem vereinfacht sie die Darstellung des Satzes von Parseval:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(\omega )\right|^{2}\,\mathrm {d} \omega }$.

Diese Bedingung ist zum Beispiel in der Physik wichtig für die Energieerhaltung durch die Fourier-Transformation. Mathematisch gesehen bedeutet die Gleichung, dass die Fourier-Transformation eine unitäre Abbildung ist, was unter anderem in der Quantenmechanik fundamental ist.

Manchmal, zum Beispiel in der Signaltheorie, bevorzugt man die – ebenfalls energieerhaltende – Version der Fourier-Transformation, bei der die – auch Spektralfunktion genannte – Fourier-Transformierte von der Frequenz statt der Winkelgeschwindigkeit abhängt:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t\nu }\{x(t)\}={\hat {x}}(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi \nu t}\,\mathrm {d} t}$.

Die Beziehung zwischen beiden Arten der Fourier-Transformation wird durch ${\displaystyle \nu ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$ vermittelt.

Die Rücktransformation lautet dann

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\nu t}^{-1}\{{\hat {x}}(\nu )\}=x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {x}}(\nu )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi \nu t}\,\mathrm {d} \nu }$.

Da hier über die Variable ${\displaystyle \nu }$ statt ${\displaystyle \omega }$ integriert wird, entfällt in dieser Darstellungsform der Vorfaktor.

Es gibt keine Einschränkungen in der Anwendung der Transformation und der Entwicklungsformel. Sind ${\displaystyle F,T}$ positive Zahlen mit ${\displaystyle FT=1/N}$, und sind ${\displaystyle M,L}$ beliebige ganzzahlige Verschiebungen, so kann eine allgemeinere Variante der Transformationsformeln angegeben werden. Mit ${\displaystyle t_{n}=nT}$ und ${\displaystyle \omega _{k}=k(2\pi F)}$ gilt

${\displaystyle {\hat {x}}_{k}=T\sum _{n=-M}^{N-M-1}x_{n}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{k}t_{n}}}$

und

${\displaystyle x_{n}=F\sum _{k=-L}^{N-L-1}{\hat {x}}_{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{k}t_{n}}.}$

Zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation wird oft die schnelle Fourier-Transformation (FFT) verwendet, ein Algorithmus, bei dem die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten wesentlich kleiner ist als bei einer direkten Implementation der Integration.

Eine (in gewissem Sinn) zeitaufgelöste Variante der Fourier-Transformation ist die Kurzzeit-Fourier-Transformation.

Wir betrachten stetige, von der Zeit ${\displaystyle t}$ reell abhängige Funktionen bzw. Vorgänge (z. B. als vektorwertige Funktionen) ${\displaystyle f(t)}$, die sich nach einer Zeit ${\displaystyle T}$ wiederholen, also periodisch mit Periode ${\displaystyle T}$ sind, ${\displaystyle f(t+T)=f(t)}$. Joseph Fourier postulierte in seiner Arbeit, dass sich ${\displaystyle f}$ aus periodischen, harmonischen Schwingungen, also Sinus- oder Kosinusfunktionen, verschiedener Phase und Amplitude und genau definierter Frequenz zusammensetzen lässt. Betrachten wir eine solche zusammengesetzte Funktion mit ${\displaystyle N+1}$ Summanden:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&=A_{0}+A_{1}\cos(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cos(2\omega t+\varphi _{2})+\cdots +A_{N}\cos(N\omega t+\varphi _{N})\\&=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n}).\end{aligned}}}$

Die einzelnen Schwingungen haben die Kreisfrequenz ${\displaystyle n\omega }$, also die Frequenz ${\displaystyle n\omega /2\pi }$. Damit hat die erste Schwingung (Grundschwingung) die Frequenz ${\displaystyle 1/T}$, die nächsten ${\displaystyle 2/T}$, ${\displaystyle 3/T}$, …

Weil ein Sinus nur ein phasenverschobener Kosinus ist, konnte die Reihendarstellung auf Kosinus-Funktionen beschränkt werden. Wir erhalten sofort auch die Sinusterme, wenn wir die Additionstheoreme benutzen:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n})\\&=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}(\,\underbrace {A_{n}\cos \varphi _{n}} _{=a_{n}}\cdot \cos(n\omega t)-\underbrace {A_{n}\sin \varphi _{n}} _{=b_{n}}\cdot \sin(n\omega t)).\end{aligned}}}$

Zusammen mit ${\displaystyle a_{0}:=A_{0}}$ erhalten wir eine phasenfreie Darstellung

${\displaystyle f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}(a_{n}\cos(n\omega t)-b_{n}\sin(n\omega t)).}$

Im nächsten Schritt soll die Summe mit Hilfe komplexer Zahlen umgeschrieben werden. Es sind dann komplexe Koeffizienten erlaubt, und die Reihe wird komplexwertig. Sofern reellwertige Funktionen betrachtet werden, kann diese als Realteil der Summe zurückgewonnen werden. Aus der Euler-Formel oder auch nach der Definition der trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion folgt

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}$ und ${\displaystyle \sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}$,

somit

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})-{1 \over \mathrm {i} }b_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)\\&=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})+\mathrm {i} b_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)\\&=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left((a_{n}+\mathrm {i} b_{n})\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}+(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t}\right).\end{aligned}}}$

Mit den komplexen Koeffizienten ${\displaystyle c_{0}:=a_{0}}$, ${\displaystyle c_{n}:={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+\mathrm {i} b_{n})}$ und ${\displaystyle c_{-n}:={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})}$ für n>0 erhalten wir eine Summe mit auch negativen Indizes

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}.}$

Wir kennen jetzt also die trigonometrische Summe in verschiedenen Darstellungen. Es war aber gefragt, eine periodische stetige Funktion mittels solch einer Summe zu approximieren. Dazu stellen wir fest, dass die komplexen Koeffizienten ${\displaystyle c_{n}}$, und damit auch die der anderen Darstellungen, sich aus der Summenfunktion zurückgewinnen lassen.

Dazu wird die obige Gleichung mit ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}}$ multipliziert und sodann auf beiden Seiten über dem Intervall ${\displaystyle [0,T]}$, d. h. über eine Periode integriert. Mit Umformungen erreicht man folgende Aussage:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}\right)=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (n+m)\omega t-\mathrm {i} m\omega t}\\&=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}.\end{aligned}}}$

Daraus folgt

${\displaystyle \int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)\mathrm {d} t\,=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {d} t.}$

Für das ${\displaystyle n}$-te Integral auf der rechten Seite gilt:

${\displaystyle \int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {d} t={\begin{cases}T&{\text{für }}n=0\\\displaystyle \ {\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}(\!\!\!\overbrace {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega T}} ^{\quad =\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} n}=1}\!\!\!\!-1)=0&{\text{für }}n\neq 0.\end{cases}}}$

Es liefert also nur der Summand für n=0 einen Beitrag, es vereinfacht sich das Integral also zu

${\displaystyle \int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)\mathrm {d} t\;=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {d} t=Tc_{m}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow c_{m}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}\mathrm {d} t.}$

Wir können nun versuchen, die trigonometrische Summe durch eine beliebige stetige periodische Funktion f zu ersetzen, die Koeffizienten nach obigen Formeln zu bestimmen und die mit diesen Koeffizienten gebildeten trigonometrischen Summen mit der Ausgangsfunktion vergleichen:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{N}(t):=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{in\omega t}&={\frac {1}{T}}\sum _{n=-N}^{N}\int _{0}^{T}f(s)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega s}\,\mathrm {d} s\;\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sum _{n=-N}^{N}f(s)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega (t-s)}\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{T}{\frac {1}{T}}S_{N}(\omega (t-s))f(s)\,\mathrm {d} s.\end{aligned}}}$

Mit dem Dirichlet-Kern

${\displaystyle S_{N}(\tau ):=\sum _{n=-N}^{N}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \tau })^{n}={\frac {\sin((N+{\frac {1}{2}})\tau )}{\sin({\frac {1}{2}}\tau )}}}$

Voraussetzung für die hergeleitete Fourier-Reihe ist die Periodizität von ${\displaystyle f(t)}$ über dem Zeitintervall ${\displaystyle T}$. Selbstverständlich gibt es auch nichtperiodische Funktionen, die diese Voraussetzung für kein endliches Zeitintervall erfüllen. Wie schon gezeigt, hat die ${\displaystyle n}$-te Oberschwingung die Frequenz ${\displaystyle n/T}$. Die Differenz der ${\displaystyle n}$-ten Oberfrequenz von der vorherigen ist ${\displaystyle n/T-(n-1)/T=1/T}$, das heißt, die Oberfrequenzen haben den Abstand ${\displaystyle 1/T}$. Für ${\displaystyle T}$ gegen unendlich geht ihr Abstand gegen Null – die Summe wird im Grenzfall zum Riemann-Integral.

Das Fourier-Integral, die kontinuierliche Fourier-Transformation, ist also gegeben durch

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }a(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} \omega }$

mit

${\displaystyle a(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t.}$

Aus der Folge ${\displaystyle a_{n}}$ ist nun das kontinuierliche Spektrum ${\displaystyle a(\omega )}$ geworden. Man bezeichnet genau genommen die zweite Transformation als Fourier-Transformation, die erste, deren inverse, ist die Fourier-Synthese.

Die zweite Gleichung kann analog wie für die Reihe hergeleitet werden.

Das angegebene Beziehungspaar gilt u. a. erneut für quadratintegrierbare Funktionen.