Formel von Burnside

Die Formel von Burnside ist eine Formel des mathematischen Teilgebiets der Analysis, welche auf den englischen Mathematiker William Burnside zurückgeht. Sie ist eng verwandt mit der Formel von Stirling und gibt wie diese eine Approximation der Fakultätenfunktion.[1]

Darstellung der Formel

Die Burnside’sche Formel lässt sich angeben wie folgt:[2][3]

n!\sim {\sqrt {2\pi }}\;\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)^{\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)}{\mathrm {e} }^{-\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)}={\sqrt {2\pi }}\;\left({\frac {n+{\frac {1}{2}}}{\mathrm {e} }}\right)^{\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)}

Güte der Annäherung

Claudi Alsina und Roger B. Nelsen verweisen in ihrer Monographie Bezaubernde Beweise (Springer, 2013) darauf, dass die Burnside’sche Formel „ungefähr doppelt so genau wie die Stirling’sche Formel“[2] ist und dass man ihre Herleitung „durch Näherungen für das Integral $\int _{1}^{n+{\frac {1}{2}}}{\ln(x)}\;\mathrm {d} x$ “[4] gewinnt.

Siehe auch

Näherungsweise Berechnung der Gammafunktion

Literatur

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin (u. a.) 2013, ISBN 978-3-642-34792-4, S. 269, 306–307.
Francis J. Murray: Formulas for Factorial N. In: Mathematics of Computation. Band 39, 1982, S. 655–661 (Online-Kopie [PDF]).
William Burnside: A rapidly convergent series for Log N! In: The Messenger of Mathematics. Band 46, 1917, S. 157–159.

Einzelnachweise

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. 2013, S. 269, 306–307
Alsina/Nelsen, op. cit., S. 269
Francis J. Murray: Formulas for Factorial N. Math. Comp. 39 (1982), S. 655–661
Alsina/Nelsen, op. cit., S. 306

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[CA-RBN-a-1] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. 2013, S. 269, 306–307

[CA-RBN-b-2] Alsina/Nelsen, op. cit., S. 269

[FJM-a-3] Francis J. Murray: Formulas for Factorial N. Math. Comp. 39 (1982), S. 655–661

[CA-RBN-c-4] Alsina/Nelsen, op. cit., S. 306